Question

（2013•瀘州）如圖，點E是矩形ABCD的邊CD上一點，把△ADE沿AE對折，點D的對稱點F恰好落在BC上，已知折痕AE=10

5

cm，且tan∠EFC=

3

4

，那么該矩形的周長為（　　）

A．72cm

B．36cm

C．20cm

D．16cm

Answer 1

分析：根據矩形的性質可得AB=CD，AD=BC，∠B=∠D=90°，再根據翻折變換的性質可得∠AFE=∠D=90°，AD=AF，然后根據同角的余角相等求出∠BAF=∠EFC，然后根據tan∠EFC=

3

4

，設BF=3x、AB=4x，利用勾股定理列式求出AF=5x，再求出CF，根據tan∠EFC=

3

4

表示出CE并求出DE，最后在Rt△ADE中，利用勾股定理列式求出x，即可得解．

解答：解：在矩形ABCD中，AB=CD，AD=BC，∠B=∠D=90°，
∵△ADE沿AE對折，點D的對稱點F恰好落在BC上，
∴∠AFE=∠D=90°，AD=AF，
∵∠EFC+∠AFB=180°-90°=90°，
∠BAF+∠AFB=90°，
∴∠BAF=∠EFC，
∵tan∠EFC=

3

4

，
∴設BF=3x、AB=4x，
在Rt△ABF中，AF=

AB2+BF2

=

(4x)2+(3x)2

=5x，
∴AD=BC=5x，
∴CF=BC-BF=5x-3x=2x，
∵tan∠EFC=

3

4

，
∴CE=CF•tan∠EFC=2x•

3

4

=

3

2

x，
∴DE=CD-CE=4x-

3

2

x=

5

2

x，
在Rt△ADE中，AD²+DE²=AE²，
即（5x）²+（

5

2

x）²=（10

5

）²，
整理得，x²=16，
解得x=4，
∴AB=4×4=16cm，AD=5×4=20cm，
矩形的周長=2（16+20）=72cm．
故選A．

點評：本題考查了矩形的對邊相等，四個角都是直角的性質，銳角三角函數，勾股定理的應用，根據正切值設出未知數并表示出圖形中的各線段是解題的關鍵，也是本題的難點．