Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A(t，0)，B，對于線段AB和x軸上方的點(diǎn)P給出如下定義：當(dāng)∠APB＝60°時(shí)，稱點(diǎn)P為AB的“等角點(diǎn)”．

(1)若，在點(diǎn)C(0，)，D，E中，線段AB的“等角點(diǎn)”是　 　；

(2)直線MN分別交x軸、y軸于點(diǎn)M、N，點(diǎn)M的坐標(biāo)是(6，0)，∠OMN＝30°．

①線段AB的“等角點(diǎn)”P在直線MN上，且∠ABP＝90°，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

②在①的條件下，過點(diǎn)B作BQ⊥PA，交MN于點(diǎn)Q，求∠AQB的度數(shù)；

③若線段AB的所有“等角點(diǎn)”都在△MON內(nèi)部，則t的取值范圍是　 　．

Answer 1

【答案】（1）C、D；（2）①，②∠AQB＝90°，③

【解析】

（1）根據(jù)給定的t值找出A、B點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用解三角形的方法討論C、D、E點(diǎn)是否滿足“等角點(diǎn)”的條件即可得出結(jié)論；

（2）①畫出點(diǎn)N在y軸正半軸時(shí)圖形，通過角的計(jì)算得出∠PAB＝∠OMN，從而得出“PA＝PM，AB＝BM”，再通過解直角三角形即可得出P點(diǎn)的坐標(biāo)，同理可得出點(diǎn)N在y軸負(fù)半軸時(shí)的P點(diǎn)的坐標(biāo)；②通過角的計(jì)算找出∠BMQ＝∠MQB＝30°，再結(jié)合外角的性質(zhì)得出BQ＝BM＝AB即得出△ABQ是等邊三角形，從而得出結(jié)論，同理點(diǎn)N在y軸負(fù)半軸時(shí)，結(jié)論相同；

（3）通過構(gòu)建與y軸以及與線段MN相切的圓，找出點(diǎn)A與點(diǎn)B的臨界點(diǎn)，求出此時(shí)的t值，從而得出線段AB的所有“等角點(diǎn)”都在△MON內(nèi)部，則t的取值范圍．

（1）當(dāng)t＝﹣時(shí)，點(diǎn)A（﹣，0），點(diǎn)B（，0），

∵點(diǎn)C（0，），OC＝＝AB，且點(diǎn)O為線段AB的中點(diǎn)，

∴△ABC為等邊三角形，

∴∠ACB＝60°，點(diǎn)C是線段AB的“等角點(diǎn)”；

∵點(diǎn)D（，1），B、D橫坐標(biāo)相等，

∴BD⊥x軸于點(diǎn)B．

∵AB＝﹣（﹣）＝，BD＝1﹣0＝1，tan∠ADB＝＝，

∴∠ADB＝60°，點(diǎn)D是線段AB的“等角點(diǎn)”；

∵點(diǎn)E（﹣，），A、E橫坐標(biāo)相等，

∴AE⊥x軸于點(diǎn)A．

∵AB＝﹣（﹣）＝，AE＝﹣0＝，tan∠AEB＝＝，

∴∠AEB≠60°，點(diǎn)E不是線段AB的“等角點(diǎn)”．

綜上可知：點(diǎn)C、D是線段AB的“等角點(diǎn)”．

故答案為：C、D．

（2）①當(dāng)點(diǎn)N在y軸正半軸時(shí)，如圖1，

∵∠APB＝60°，∠ABP＝90°，

∴∠PAB＝30°，

又∵∠OMN＝30°，

∴PA＝PM，AB＝BM．

∵AB＝，

∴BM＝，

∴PB＝1．

∴P（6﹣，1）．

當(dāng)點(diǎn)N在y軸負(fù)半軸時(shí)，同理可得點(diǎn)．

②當(dāng)點(diǎn)N在y軸正半軸時(shí)，如圖2，

∵BQ⊥AP，且∠APB＝60°，

∴∠PBQ＝30°，

∴∠ABQ＝60°，

∴∠BMQ＝∠MQB＝30°，

∴BQ＝BM＝AB，

∴△ABQ是等邊三角形．

∴∠AQB＝60°．

當(dāng)點(diǎn)N在y軸負(fù)半軸時(shí)，同理可得∠AQB＝90°．

③以AB＝做底，AO′＝BO′為腰，∠AO′B＝120°作三角形，如圖3所示．

∵AO′＝BO′，AB＝，∠AO′B＝120°，

∴AO′＝1，O′O″＝．

（i）以直線y＝上的點(diǎn)O′為圓心，1為半徑作圓，當(dāng)圓O′與y軸相切，且O′在y軸右側(cè)時(shí)，如圖4所示，

此時(shí)O′的坐標(biāo)為（1，），此時(shí)A點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1﹣AB＝1﹣，

即t＝1﹣；

（ii）以直線y＝上的點(diǎn)O′為圓心，1為半徑作圓，當(dāng)圓O′與線段MN相切，且O′在MN下方時(shí)，如圖5所示．

∵M′F＝，∠OMN＝30°，

∴MF＝＝．

∵O′D＝1，∠O′M′D＝∠OMN＝30°，

∴O′M′＝＝2．

此時(shí)點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為OM﹣MF﹣O′M′+AB＝4，

∴t+＝4，t＝4﹣．

綜上可知：若線段AB的所有“等角點(diǎn)”都在△MON內(nèi)部，則t的取值范圍是1﹣＜t＜4﹣．

故答案為：