Question

【題目】已知如圖，在以為原點的平面直角坐標系中，拋物線與軸交于、兩點，與軸交于點，連接，，直線過點且平行于軸，，

求拋物線對應的二次函數的解析式；

若為拋物線上一動點，是否存在直線使得點到直線的距離與的長恒相等？若存在，求出此時的值；

如圖，若、為上述拋物線上的兩個動點，且，線段的中點為，求點縱坐標的最小值．

Answer 1

【答案】(1) ;(2)見解析;(3)2.

【解析】

(1)根據點C坐標,可得c=-1,然后根據AO=2CO,可得出點A坐標,將點A坐標代入求出b值,即可得出函數解析式;
(2)假設存在直線l使得點D到直線l的距離與OD的長恒相等,設出點D坐標,分別求出OD和點D到直線l的距離,然后列出等式求出t的值;
(3)作EN⊥直線l于點G,FH⊥直線l于點H,設出點E、F坐標,表示出點M的縱坐標,根據(2)中得出的結果,代入結果求出M縱坐標的最小值.

∵，
∴，
又∵，
∴點坐標為，
代入得：，
解得：，
∴解析式為：；

假設存在直線使得點到直線的距離與的長恒相等，
設，
則，
點到直線的距離：，
∴，
解得：，
∵，
∴，
故當時，直線使得點到直線的距離與的長恒相等；

作直線于點，直線于點，

設，，
則，，
∵為中點，
∴縱坐標為：，
由得：，，
∴，
要使縱坐標最小，即最小，
當過點時，最小，最小值為，
∴縱坐標最小值為．