Question

【題目】如圖△AOB和△ACD是等邊三角形，其中AB⊥x軸于E點．

（1）如圖，若OC=5，求BD的長度；

（2）設BD交x軸于點F，求證：∠OFA=∠DFA；

（3）如圖，若正△AOB的邊長為4，點C為x軸上一動點，以AC為邊在直線AC下方作正△ACD，連接ED，求ED的最小值.

Answer 1

【答案】（1）5；（2）見解析；（3）1.

【解析】試題分析：（1）先由等邊三角形的性質得出 進而得出 即可判斷出≌即可得出結論；
（2）借助（1）得出的≌，得出 進而求出 再判斷出， ≌即可求出

（3）如圖3中，連接DB并延長至點N，由≌（SAS），推出,推出則D點在直線BN上運動，過E作EH⊥DN于點H，當D點運動至H時，ED最小；

試題解析：(1)∵點C(5,0).

∴OC=5，

∵△AOB和△ACD是等邊三角形，

∴∠OAC=∠BAD，

在△AOC和△ABD中,

∴≌，

∴BD=OC=5；

(2)∵△AOB是等邊三角形，且AB⊥x軸于E點，

∴∠AOE=∠BOE=30，

由(1)知, ≌.

在△AOF和△BOF中,

∴≌.

根據平角的定義得,

∴∠OFA=∠DFA；

（3）如圖3中，連接并延長至點，

易證： ≌（SAS），

則D點在直線BN上運動

過E作于點H，當D點運動至H時，ED最小,

此時，