Question

【題目】如圖（1），已知A（a，0），B（0，b），且滿足a＝．

（1）求A、B兩點坐標；

（2）在（1）的條件下，Q為直線AB上一點，且滿足S△AOQ＝2S△BOQ，求Q點的縱坐標；

（3）如圖（2），E點在y軸上運動，且在B點上方，過E作AB的平行線，交x軸于點C，∠CEO的平分線與∠BAO的平分線交于點F．問：點E在運動過程中，∠F的大小是否發生改變？若改變，請說明理由；若不變，請求出它的值．

Answer 1

【答案】（1）A（﹣6，0），B（0，4）；（2）Q點縱坐標為或8；（3）∠F的大小不變，∠F＝135°

【解析】

（1）根據二次根式有意義的條件列出不等式，分別求出a、b，得到點A、B兩點坐標；

（2）分Q在線段AB上、Q在點B上方、Q在A點下方三種情況，根據三角形的面積公式計算；

（3）根據角平分線的定義、三角形內角和定理、平行線的性質計算，得到答案．

（1）由題意可得：b﹣4≥0，4﹣b≥0，

∴b＝4，

則a＝﹣6，

∴A（﹣6，0），B（0，4）；

（2）∵A（﹣6，0），B（0，4），

∴OA＝6，OB＝4，

∴S△AOB＝×4×6＝12，

∵Q在直線AB上，

所以點Q位置有3種可能，設點Q到x軸的距離為h，

當Q在線段AB上時，

∵S△AOQ＝2S△BOQ，

∴S△AOQ＝8，S△BOQ＝4，

∴×6×h＝8，

解得，h＝，

∴Q點縱坐標為；

當Q在點B上方時，∵S△AOQ＝2S△BOQ，S△AOQ＝S△AOB+S△BOQ，

∴S△AOB＝S△BOQ，

∴S△AOQ＝24，

∴×6×h＝24，

解得，h＝8，

∴Q點縱坐標為8；

當Q在A點下方時，不符合題意，

綜上所述，Q點縱坐標為或8；

（3）∠F的大小不變，

理由如下：∵AB∥CE，

∴∠BAO＝∠ECO，∠ADF＝∠CEF，

∵∠EOC＝90°，

∴∠ECO+∠CEO＝90°，

∵AF平分∠BAO，EF平分∠CEO，

∴∠DAF＝∠BAO，∠CEF＝∠CEO，

∴∠DAF＝∠ECO，∠ADF＝∠CEO

∴∠DAF+∠ADF＝∠ECO+ ∠CEO

＝（∠ECO+∠CEO）

＝×90°

＝45°，

∴∠F＝180°﹣（∠DAF+∠ADF）

＝180°﹣45°

＝135°．