Question

【題目】如圖，以AB為直徑的⊙O交∠BAD的平分線于點C，交AD于點F，過點C作CD⊥AD于D，交AB的延長線于點E．

（1）求證：CD為⊙O的切線；

（2）若＝，求cos∠DAB的值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）連接OC，如圖，證明∠DAC=∠OCA得到AD∥OC，再利用平行線的性質得到OC⊥DE，然后根據切線的判定定理得到結論；

（2）作OH⊥AD于H，如圖，則AH=HF，由四邊形OCDH為矩形得到OH=CD，OC=DH，設CD=x，⊙O的半徑為r，則AH=2x-r，OA=r，在Rt△OAH中利用勾股定理得到x2+（2x-r）2=r2，解得x=r，然后利用余弦定義求解．

（1）證明：連接OC，如圖，

∵AC平分∠BAD，

∴∠DAC＝∠EAC，

∵OA＝OC，

∴∠OAC＝∠OCA，

∴∠DAC＝∠OCA，

∴AD∥OC，

∵AD⊥DE，

∴OC⊥DE，

∴CD為⊙O的切線；

（2）作OH⊥AD于H，如圖，則AH＝HF，

易得四邊形OCDH為矩形，

∴OH＝CD，OC＝DH，

∵＝，

∴設CD＝x，則AD＝2x，

設⊙O的半徑為r，

∴AH＝2x﹣r，OA＝r，

在Rt△OAH中，x2+（2x﹣r）2＝r2，解得x＝r，

∴AH＝r，

在Rt△OAH中，．