Question

【題目】在平面直角坐標系中，△AOB的位置如圖所示，已知∠AOB=90°，AO=BO，點A的坐標為(-3，1)．

(1)求點B的坐標；

(2)求過A、O、B三點的拋物線的解析式；

(3)設點B關于拋物線的對稱軸的對稱點為B1，求△AB1B的面積．

Answer 1

【答案】(1)點B的坐標為(1，3)；(2)y=x2+x；(3)=.

【解析】

（1）過點A作AC⊥x軸，垂足為C，作BD⊥x軸垂足為D，可證明△AOC≌△BOD，則B點的橫坐標即為A點的坐標軸，B的縱坐標是A點的橫坐標的絕對值，因此可求出B的坐標；（2）已知A,O的坐標，根據（1）求出的B點坐標，用待定系數法求出拋物線的解析式；（3）根據（2）的解析式可得出對稱軸的解析式，根據B點坐標得出B1坐標，則BB1就是三角形的底邊，B的縱坐標與A的縱坐標的查的絕對值就是△ABB1的高，因此可求出其面積.

（1）過點A作AC⊥x軸，垂足為C，作BD⊥x軸垂足為D，

則∠ACO=∠ODB=90°，

∴∠AOC+∠OAC=90°，

又∠AOB=90°，

∴∠AOC+∠BOD=90°，

∴∠OAC=∠BOD，

又AO=BO，

∴△AOC≌△BOD（AAS）

∴OD=AC=1，DB=OC=3，

∴點B的坐標為（1,3）

（2）因拋物線過原點，

設所求的拋物線解析式為y=ax2+bx,

將A（-3，1），B（1,3）代入

得

解得a=，b=

∴所求的拋物線解析式為y=x2+x；

（3）在y=x2+x中，對稱軸

點B1是點B關于拋物線的對稱軸的對稱點，

故B1（，3）

在△ABB1中，底邊B1B=，高為2，

故S△ABB1=.