Question

【題目】如圖1，已知AB＝8，直線l與AB平行，且l與AB的距離為4，P是l上的動點，過點P作PC ⊥AB，垂足為C，點C不與A，B重合，過A，C，P三點作⊙O.

（1）若⊙O與線段PB交于點D，∠PAD＝22.5°，則∠APB等于多少度？

（2）如圖2，⊙O與線段PB的一個公共點為D，一條直徑垂直AB于點E，且與AD交于點M.

①若ME＝，求AE的長；

②當ME的長度最大時，判斷直線PB與⊙O的位置關系，并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）67.5°；（2）①或，②當ME的長度最大時，直線PB與該圓相切．

【解析】（1）利用圓周角定理的推論，由∠ACP=90°，可證AP是⊙O的直徑，即可得出∠PDA=90°，利用三角形內角和公式即可得出答案；

（2）①先證△MEA∽△BCP，再由相似的性質得出 ＝，即可求出AE的長；

②設AE＝x，由①中比例式 ＝建立關于x的二次函數，利用最值即可求出ME的最大長，再利用三角形中位線定理即可得出結論.

（1）∵PC⊥AB，

∴∠ACP=90°，

∴AP是⊙O的直徑，

∴∠PDA=90°，

∴∠APD=90°-∠PAD=90°-22.5°=67.5°.

（2）①連接AP，由PC ⊥AB得AP是直徑，從而AD⊥PB，∠BAD+∠B＝90°，

又∠BPC+∠B＝90°，

即∠EAM＝∠CPB，

∴△MEA∽△BCP

∵ OE⊥AB，又∵OA＝OC，

∴AE＝EC．

設AE＝x，則BC＝8－2x．

由 ＝，得，

化簡得25x2－100x+64＝0，

解得x1=，x2=，

即AE＝或

②當ME的長度最大時，直線PB與該圓相切．

由①設AE＝x，則BC＝8－2x．

由 ＝,可得ME＝－（x－2）2＋2．

∵ x＞0，8－2x＞0，

∴ 0＜x＜4．

又∵ －＜0，

∴當x＝2時，ME的長度最大為2．

當ME＝2時，AE＝EC＝2，

即AC＝4；BC＝4，

由∠ACP=90°得AP為直徑；

又AC＝PC＝BC＝4，

得∠APB=45°+45°＝90°

直線PB與該圓相切