Question

【題目】如圖，△ABC中，點O為AC邊上的一個動點，過點O作直線MN∥BC，設MN交∠ACB的外角平分線CF于點F，交∠ACB內角平分線CE于E．

（1）求證：OE=OF；
（2）當點O運動到何處時，四邊形AECF是矩形，并證明你的結論；
（3）在（2）的條件下，試猜想當△ABC滿足什么條件時使四邊形AECF是正方形，請直接寫出你的結論．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：如圖1中，

∵CE平分∠ACB，

∴∠ACE=∠BCE，

∵MN∥BC，

∴∠OEC=∠ECB，

∴∠OEC=∠OCE，

∴OE=OC，

同理，OC=OF，

∴OE=OF．

（2）

結論：當點O運動到AC中點處時，四邊形AECF是矩形．

理由：如圖2中，

如圖AO=CO，EO=FO，

∴四邊形AECF為平行四邊形，

∵CE平分∠ACB，

∴∠ACE= ∠ACB，

同理，∠ACF= ∠ACG，

∴∠ECF=∠ACE+∠ACF= （∠ACB+∠ACG）= ×180°=90°，

∴四邊形AECF是矩形．：

（3）

解：結論：當∠ACB=90°時，四邊形AECF是正方形

理由：∵∠BCA=90°，

∵MN∥BC，

∴∠BCA=∠AOM=90°，

∴AC⊥EF，

∴四邊形AECF是正方形．．

【解析】（1）根據CE平分∠ACB，MN∥BC，找到相等的角，即∠OEC=∠ECB，再根據等邊對等角得OE=OC，同理OC=OF，可得EO=FO．（2）利用矩形的判定解答，即有一個內角是直角的平行四邊形是矩形．（3）利用已知條件及正方形的判定方法解答．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解正方形的判定方法的相關知識，掌握先判定一個四邊形是矩形，再判定出有一組鄰邊相等；先判定一個四邊形是菱形，再判定出有一個角是直角．