Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，過點B作射線BB1∥AC．動點D從點A出發沿射線AC方向以每秒5個單位的速度運動，同時動點E從點C沿射線AC方向以每秒3個單位的速度運動．過點D作DH⊥AB于H，過點E作EF⊥AC交射線BB1于F，G是EF中點，連接DG．設點D運動的時間為t秒．

（1）當t為何值時，AD=AB，并求出此時DE的長度；

（2）當△DEG與△ACB相似時，求t的值．

Answer 1

【答案】（1）當t=1時，AD=AB，AE=1；

（2）當t=或 或 或 時，△DEG與△ACB相似.

【解析】試題分析：（1）根據勾股定理得出AB=5,要使AD=AB=5，∵動點D每秒5個單位的速度運動，∴t=1；（2）當△DEG與△ACB相似時，要分兩種情況討論，根據相似三角形的性質，列出比例式，求出DE的表達式時，要分AD＜AE和AD＞AE兩種情況討論.

試題解析：

（1）∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4， ∴AB==5．

∵AD=5t，CE=3t， ∴當AD=AB時，5t=5，即t=1；

∴AE=AC+CE=3+3t=6，DE=6﹣5=1．

（2）∵EF=BC=4，G是EF的中點， ∴GE=2．

當AD＜AE（即t＜）時，DE=AE﹣AD=3+3t﹣5t=3﹣2t，

若△DEG與△ACB相似，則 或 ，

∴或， ∴t=或t=；

當AD＞AE（即t＞）時，DE=AD﹣AE=5t﹣（3+3t）=2t﹣3，

若△DEG與△ACB相似，則 或 ， ∴或，

解得t=或t=；

綜上所述，當t=或 或 或 時，△DEG與△ACB相似．