Question

【題目】如圖1，P為Rt△ABC所在平面內任意一點（不在直線AC上），∠ACB=90°，M為AB邊中點．操作：以PA、PC為鄰邊作平行四邊形PADC，連續PM并延長到點E，使ME=PM，連接DE． 探究：

（1）請猜想與線段DE有關的三個結論；
（2）請你利用圖2，圖3選擇不同位置的點P按上述方法操作；
（3）經歷（2）之后，如果你認為你寫的結論是正確的，請加以證明； 如果你認為你寫的結論是錯誤的，請用圖2或圖3加以說明；
（注意：錯誤的結論，只要你用反例給予說明也得分）
（4）若將“Rt△ABC”改為“任意△ABC”，其他條件不變，利用圖4操作，并寫出與線段DE有關的結論（直接寫答案）．

Answer 1

【答案】
（1）解：DE∥BC，DE=BC，DE⊥AC
（2）解：如圖4，如圖5．

（3）解：方法一：

如圖6，

連接BE，

∵PM=ME，AM=MB，∠PMA=∠EMB，

∴△PMA≌△EMB．

∵PA=BE，∠MPA=∠MEB，

∴PA∥BE．

∵平行四邊形PADC，

∴PA∥DC，PA=DC．

∴BE∥DC，BE=DC，

∴四邊形DEBC是平行四邊形．

∴DE∥BC，DE=BC．

∵∠ACB=90°，

∴BC⊥AC，

∴DE⊥AC．

方法二：

如圖7，連接BE，PB，AE，

∵PM=ME，AM=MB，

∴四邊形PAEB是平行四邊形．

∴PA∥BE，PA=BE，

余下部分同方法一：

方法三：

如圖8，連接PD，交AC于N，連接MN，

∵平行四邊形PADC，

∴AN=NC，PN=ND．

∵AM=BM，AN=NC，

∴MN∥BC，MN= BC．

又∵PN=ND，PM=ME，

∴MN∥DE，MN= DE．

∴DE∥BC，DE=BC．

∵∠ACB=90°，

∴BC⊥AC．

∴DE⊥AC．

（4）解：如圖9，DE∥BC，DE=BC．

【解析】連接BE，根據邊角邊可證△PAM和△EBM全等，可得EB和PA既平行又相等，而PA和CD既平行且相等，所以DE和BC平行相等，又因為BC⊥AC，所以DE也和AC垂直．以下幾種情況雖然圖象有所變化，但是證明方法一致．
【考點精析】本題主要考查了平行四邊形的性質的相關知識點，需要掌握平行四邊形的對邊相等且平行；平行四邊形的對角相等，鄰角互補；平行四邊形的對角線互相平分才能正確解答此題．