Question

【題目】如圖，已知AB是⊙O的直徑，BC是弦，弦BD平分∠ABC交AC于F，弦DE⊥AB于H，交AC于G．

①求證：AG＝GD；

②當∠ABC滿足什么條件時，△DFG是等邊三角形？

③若AB＝10，sin∠ABD＝，求BC的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）當∠ABC＝60°時，△DFG是等邊三角形．理由見解析；（3）BC的長為．

【解析】

（1）首先連接AD，由DE⊥AB，AB是的直徑，根據垂徑定理，即可得到，然后根據在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，證得∠ADE＝∠ABD，又由弦BD平分∠ABC，可得∠DBC＝∠ABD，根據等角對等邊的性質，即可證得AG=GD；

（2）當∠ABC=60°時，△DFG是等邊三角形，根據半圓（或直徑）所對的圓周角是直角與三角形的外角的性質，易求得∠DGF=∠DFG=60°，即可證得結論；

（3）利用三角函數先求出tan∠ABD，cos∠ABD＝，再求出DF、BF，然后即可求出BC.

（1）證明：連接AD，

∵DE⊥AB，AB是⊙O的直徑，

∴，

∴∠ADE＝∠ABD，

∵弦BD平分∠ABC，

∴∠DBC＝∠ABD，

∵∠DBC＝∠DAC，

∴∠ADE＝∠DAC，

∴AG＝GD；

（2）解：當∠ABC＝60°時，△DFG是等邊三角形．

理由：∵弦BD平分∠ABC，

∴∠DBC＝∠ABD＝30°，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB＝90°，

∴∠CAB＝90°﹣∠ABC＝30°，

∴∠DFG＝∠FAB+∠DBA＝60°，

∵DE⊥AB，

∴∠DGF＝∠AGH＝90°﹣∠CAB＝60°，

∴△DGF是等邊三角形；

（3）解：∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ADB＝∠ACB＝90°，

∵∠DAC＝∠DBC＝∠ABD，

∵AB＝10，sin∠ABD＝，

∴在Rt△ABD中，AD＝ABsin∠ABD＝6，

∴BD＝＝8，

∴tan∠ABD＝，cos∠ABD＝，

在Rt△ADF中，DF＝ADtan∠DAF＝ADtan∠ABD＝6×＝，

∴BF＝BD﹣DF＝8﹣＝，

∴在Rt△BCF中，BC＝BFcos∠DBC＝BFcos∠ABD＝×＝．

∴BC的長為：．