Question

【題目】在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D為BC中點，CE⊥AD于E，BF∥AC交CE的延長線于F．

（1）求證：△ACD≌△CBF；
（2）求證：AB垂直平分DF．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，

∴∠CAB=∠CBA=45°，

∵CE⊥AD，

∴∠CAD=∠BCF，

∵BF∥AC，

∴∠FBA=∠CAB=45°

∴∠ACB=∠CBF=90°，

在△ACD與△CBF中，

∵ ，

∴△ACD≌△CBF；

（2）解：證明：∵∠BCE+∠ACE=90°，∠ACE+∠CAE=90°，

∴∠BCE=∠CAE．

∵AC⊥BC，BF∥AC．

∴BF⊥BC．

∴∠ACD=∠CBF=90°，

在△ACD與△CBF中，

∵ ，

∴△ACD≌△CBF，

∴CD=BF．

∵CD=BD= BC，

∴BF=BD．

∴△BFD為等腰直角三角形．

∵∠ACB=90°，CA=CB，

∴∠ABC=45°．

∵∠FBD=90°，

∴∠ABF=45°．

∴∠ABC=∠ABF，即BA是∠FBD的平分線．

∴BA是FD邊上的高線，BA又是邊FD的中線，

即AB垂直平分DF

【解析】（1）根據∠ACB=90°，AC=BC，求得∠CAD=∠BCF，再利用BF∥AC，求得∠ACB=∠CBF=90°，然后利用ASA即可證明△ACD≌△CBF，
（2）利用同角的余角相等得出，∠BCE=∠CAE，再根據平行線的性質得出∠ACD=∠CBF=90°，然后由ASA判定△ACD≌△CBF得到BF=BD，再根據角度之間的數量關系求出∠ABC=∠ABF，即BA是∠FBD的平分線，從而利用等腰三角形三線合一的性質求證即可

【考點精析】根據題目的已知條件，利用平行線的性質和等腰三角形的性質的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內錯角相等；兩直線平行，同旁內角互補；等腰三角形的兩個底角相等（簡稱：等邊對等角）．