Question

某公司推出了一種高效環保型洗滌用品，年初上市后，公司經歷了從虧損到盈利的過程，如圖的二次函數圖象（部分）刻畫了該公司年初以來累積利潤s（萬元）與時間t（月）之間的關系（即前t個月的利潤總和s與t之間的關系）．根據圖象提供的信息，解答下列問題：
（1）求累積利潤s（萬元）與時間t（月）之間的函數關系式；
（2）求截止到幾月末公司累積利潤可達30萬元；
（3）從第幾個月起公司開始盈利？該月公司所獲利潤是多少萬元？

Answer 1

分析：（1）根據圖象可知拋物線的頂點坐標為（2，-2）圖象過（0，0），（4，0）點，所以可設設二次函數的解析式為S=at（t-4），由圖可知當t=2，s=-2，所以求出a的值，進而求出累積利潤s（萬元）與時間t（月）之間的函數關系式．
（2）根據（1）中所求解析式，進而得出S=30時，求出t的值；
（3）第3個月公司所獲利潤=第3個月公司累積利潤-第2個月公司累積利潤．

解答：解：（1）由題意得出：圖象過（0，0），（4，0）點，則設解析式為：S=at（t-4），
再利用圖象過點（2，-2），則-2=a×2×（2-4），
解得：a=

1

2

故拋物線解析式為：S=

1

2

t(t-4)；

（2）當S=30時，
30=

1

2

t（t-4）
解得：t₁=10，t₂=-6（舍去）；

（3）由圖象可得出：當t＞2時，S隨t的增大而增大，所以從第3個月起開始盈利，
所獲利潤為S_（3）-S_（2）=

1

2

×3×（3-4）-

1

2

×2×（2-4）=0.5（萬元）．

點評：本題考查了交點式求二次函數解析式及二次函數的實際應用．此題為數學建模題，借助二次函數解決實際問題．