Question

如圖，在平面直角坐標系中，已知矩形AOBC的頂點C的坐標是（2，4），動點P從點A出發，沿線段AO向終點O運動，同時動點Q從點B出發，沿線段BC向終點C運動．點P、Q的運動速度均為1個單位，運動時間為t秒．過點P作PE⊥AO交AB于點E．
（1）求直線AB的解析式；
（2）設△PEQ的面積為S，求S與t時間的函數關系，并指出自變量t的取值范圍；
（3）在動點P、Q運動的過程中，點H是矩形AOBC內（包括邊界）一點，且以B、Q、E、H為頂點的四邊形是菱形，直接寫出t值和與其對應的點H的坐標．

Answer 1

（1）直線AB的解析式為y=﹣2x+4．
（2）當0＜t＜2時，S=﹣t²+t（0＜t＜2），
當2＜t≤4時，S=t²﹣t（2＜t≤4）．
（3）t₁=，H₁（，），
t₂=20﹣8，H₂（10﹣4，4）．

解析試題分析：（1）根據待定系數法即可得到；
（2）過點Q作QF//x軸交y軸于點F，有兩種情況：當0＜t＜2時，PF=4﹣2t，當2＜t≤4時，PF=2t﹣4，然后根據面積公式即可求得；
（3）由菱形的鄰邊相等即可得到．
試題解析：（1）∵C（2，4），
∴A（0，4），B（2，0），
設直線AB的解析式為y=kx+b，
∴，
解得
∴直線AB的解析式為y=﹣2x+4．

（2）如圖2，過點Q作QF⊥y軸于F，
∵PE//OB，
∴
∴有AP=BQ=t，PE=t，AF=CQ=4﹣t，
當0＜t＜2時，PF=4﹣2t，
∴S=PE•PF=×t（4﹣2t）=t﹣t²，
即S=﹣t²+t（0＜t＜2），
當2＜t≤4時，PF=2t﹣4，
∴S=PE•PF=×t（2t﹣4）=t²﹣t（2＜t≤4）．
（3）t₁=，H₁（，），
t₂=20﹣8，H₂（10﹣4，4）．
考點：1、待定系數法；2、三角形的面積；3、菱形的性質