Question

【題目】如圖，拋物線與軸交于兩點和與軸交于點動點沿的邊以每秒個單位長度的速度由起點向終點運動，過點作軸的垂線，交的另一邊于點將沿折疊，使點落在點處，設點的運動時間為秒．

（1）求拋物線的解析式；

（2）N為拋物線上的點(點不與點重合)且滿足直接寫出點的坐標；

（3）是否存在某一時刻，使的面積最大，若存在，求出的值和最大面積；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）（-5，3）或（，-3）或（，-3）；（3）存在，時，有最大值為．

【解析】

（1）把A（-3，0），B（1，0）代入y=ax2+bx+3，得到關于a、b的二元一次方程組，解方程組即可得到結論；

（2）由拋物線解析式求出C（0，3），根據同底等高的兩個三角形面積相等，可知N點縱坐標的絕對值等于3，將y=±3分別代入二次函數解析式，求出x的值，進而得到N點的坐標；

（3）由于點D在y軸的右側時，過點作軸的垂線，無法與 的另一邊相交，所以點D在y軸左側，根據題意求出直線AC的解析式及E，D，F的坐標，然后根據三角形面積求得與t的函數關系式，然后利用二次函數的性質求最值即可．

解：（1）把A（-3，0），B（1，0）代入y=ax2+bx+3中，得

，解得 ，

∴拋物線的解析式為：，

（2）∵拋物線與y軸交于點C，

∴C（0，3）．

∵N為拋物線上的點(點不與點重合)且S△NAB=S△ABC，

∴設N（x，y），則|y|=3．

把y=3代入，得，解得x=0或-5，

x=0時N與C點重合，舍去，

∴N（-5，3）；

把y=-3代入，得，解得

∴N（，-3）或（，-3）．

綜上所述，所求N點的坐標為（-5，3）或（，-3）或（，-3）；

（3）存在．

由題意可知，∵過點作軸的垂線，交的另一邊于點

∴點D必在y軸的左側．

∵AD=2t，

∴由折疊性質可知DF=AD=2t，

∴OF=3-4t，

∴D（2t-3，0），

∵設直線AC的解析式為：，將A（-3，0）和C（0，3）代入解析式得 ，解得

∴直線AC的解析式為：

∴E（2t-3，2t）．

∴

∵-4＜0

時，有最大值為．