Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=AC，∠DAC是△ABC的一個外角．

實驗與操作：根據要求進行尺規作圖，并在圖中標明相應字母（保留作圖痕跡，不寫作法）

（1）作∠DAC的平分線AM；

（2）作線段AC的垂直平分線，與AM交于點F，與BC邊交于點E，連接AE、CF

探究與猜想：若∠BAE=36°，求∠B的度數.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）48°

【解析】試題分析：

（1）以點A為圓心，任意長為半徑作弧交AD、AC于兩點，再分別以這兩點為圓心，大于這兩點間的距離的一半為半徑作弧，兩弧交于一點M，過點M作射線AM，則射線AM為所求角平分線；

（2）分別以點A、C為圓心，大于AC的一半為半徑作弧，兩弧在AC的兩側各交于一點，過這兩點作直線，角AM于點F，交BC于點E，則直線EF為AC的垂直平分線；連接CF，由已知條件先證∠CAM=∠ACB，再證△AOF≌△COE，由此可得OE=OF，從而可得四邊形AECF是菱形，即可得到AE=CE，進一步可得∠EAC=∠ACB=∠B結合∠BAE=36°，結合三角形內角和定理即可得到∠B==48°.

試題解析：

（1）如下圖，圖中射線AM為所求角平分線：

（2）如下圖所示，直線EF為AC的垂直平分線，連接CF，

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB，

∵AM平分∠DAC，

∴∠DAM=∠CAM，

而∠DAC=∠ABC+∠ACB，

∴∠CAM=∠ACB，

∴EF垂直平分AC，

∴OA=OC，∠AOF=∠COE，

在△AOF和△COE中，

∴△AOF≌△COE，

∴OF=OE，即AC和EF互相垂直平分，

∴四邊形AECF的形狀為菱形．

∴EA=EC，

∴∠EAC=∠ACB=∠B==48°，

∴∠B=48°.