Question

【題目】已知拋物線C1：y1＝a（x﹣h）2+2，直線1：y2＝kx﹣kh+2（k≠0）．

（1）求證：直線l恒過拋物線C的頂點；

（2）若a＞0，h＝1，當t≤x≤t+3時，二次函數y1＝a（x﹣h）2+2的最小值為2，求t的取值范圍．

（3）點P為拋物線的頂點，Q為拋物線與直線l的另一個交點，當1≤k≤3時，若線段PQ（不含端點P，Q）上至少存在一個橫坐標為整數的點，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）﹣2≤t≤1；（3）﹣1＜a＜0或0＜a＜1．

【解析】

(1)利用二次函數的性質找出拋物線的頂點坐標，將x＝h代入一次函數解析式中可得出點(h，2)在直線1上，進而可證出直線l恒過拋物線C1的頂點；

(2)由a＞0可得出當x＝h＝1時y1＝a(x﹣h)2+2取得最小值2，結合當t≤x≤t+3時二次函數y1＝a(x﹣h)2+2的最小值為2，可得出關于t的一元一次不等式組，解之即可得出結論；

(3)令y1＝y2可得出關于x的一元二次方程，解之可求出點P，Q的橫坐標，由線段PQ(不含端點P，Q)上至少存在一個橫坐標為整數的點，可得出＞1或＜﹣1，再結合1≤k≤3，即可求出a的取值范圍．

(1)∵拋物線C1的解析式為y1＝a(x﹣h)2+2，

∴拋物線的頂點為(h，2)，

當x＝h時，y2＝kx﹣kh+2＝2，

∴直線l恒過拋物線C1的頂點；

(2)∵a＞0，h＝1，

∴當x＝1時，y1＝a(x﹣h)2+2取得最小值2，

又∵當t≤x≤t+3時，二次函數y1＝a(x﹣h)2+2的最小值為2，

∴，

∴﹣2≤t≤1；

(3)令y1＝y2，則a(x﹣h)2+2＝k(x﹣h)+2，

解得：x1＝h，x2＝h+，

∵線段PQ(不含端點P，Q)上至少存在一個橫坐標為整數的點，

∴＞1或＜﹣1，

∵k＞0，

∴0＜a＜k或﹣k＜a＜0，

又∵1≤k≤3，

∴﹣1＜a＜0或0＜a＜1．