Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，二次函數y=ax2+bx﹣4（a≠0）的圖象與x軸交于A（﹣2，0）、C（8，0）兩點，與y軸交于點B，其對稱軸與x軸交于點D．

（1）求該二次函數的解析式；

（2）如圖1，連結BC，在線段BC上是否存在點E，使得△CDE為等腰三角形？若存在，求出所有符合條件的點E的坐標；若不存在，請說明理由；

（3）如圖2，若點P（m，n）是該二次函數圖象上的一個動點（其中m＞0，n＜0），連結PB，PD，BD，求△BDP面積的最大值及此時點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣x﹣4；（2）（8﹣2，﹣）、（0，﹣4）、（，﹣）；（3）（，﹣）．

【解析】

試題分析：（1）∵二次函數y=ax2+bx﹣4（a≠0）的圖象與x軸交于A（﹣2，0）、C（8，0）兩點，∴，解得，∴該二次函數的解析式為y=x2﹣x﹣4；

（2）由二次函數y=x2﹣x﹣4可知對稱軸x=3，∴D（3，0），∵C（8，0），∴CD=5，由二次函數y=x2﹣x﹣4可知B（0，﹣4），設直線BC的解析式為y=kx+b，∴，解得，∴直線BC的解析式為y=x﹣4，設E（m， m﹣4），當DC=CE時，EC2=（m﹣8）2+（m﹣4）2=CD2，即（m﹣8）2+（m﹣4）2=52，解得m1=8﹣2，m2=8+2（舍去），∴E（8﹣2，﹣）；當DC=DE時，ED2=（m﹣3）2+（m﹣4）2=CD2，即（m﹣3）2+（m﹣4）2=52，解得m3=0，m4=8（舍去），∴E（0，﹣4）；當EC=DE時，（m﹣8）2+（m﹣4）2=（m﹣3）2+（m﹣4）2解得m5=5.5，∴E（，﹣）．綜上，存在點E，使得△CDE為等腰三角形，所有符合條件的點E的坐標為（8﹣2，﹣）、（0，﹣4）、（，﹣）．

（3）過點P作y軸的平行線交x軸于點F，∵P點的橫坐標為m，∴P點的縱坐標為m2﹣m﹣4，∵△PBD的面積S=S梯形﹣S△BOD﹣S△PFD=m[4﹣（m2﹣m﹣4）]﹣（m﹣3）[﹣（m2﹣m﹣4）]﹣×3×4=﹣m2+m=﹣（m﹣）2+，∴當m=時，△PBD的最大面積為，∴點P的坐標為（，﹣）．