Question

【題目】拋物線與x軸交于A，B兩點（A在B的左側），與y軸交于點C（0，－3），點D與點C關于拋物線的對稱軸對稱．

（1）求拋物線的解析式及點D的坐標；

（2）點P是拋物線對稱軸上的一動點，當△PAC的周長最小時，求出點P的坐標；

（3）若點Q在x軸正半軸上，且∠ADQ＝∠DAC，求出點Q的坐標．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的解析式為，點D的坐標為（2，－3）；

（2）點P的坐標為（1，－2）；

（3）Q點坐標為（1，0）.

【解析】試題分析：（1）利用待定系數法即可求出n，利用對稱性C、D關于對稱軸對稱即可求出點D坐標．

（2）A，P，D三點在同一直線上時△PAC的周長最小，求出直線AD的解析式即可解決問題．

（3）分兩種情形①作DQ∥AC交x軸于點Q，此時∠DQA=∠DAC，滿足條件．②設線段AD的垂直平分線交AC于E，直線DE與x的交點為Q′，此時∠Q′DA=′CAD，滿足條件，分別求解即可．

試題解析：（1）把C(0，3)代入y=(x1)2+n，得3=(01)2+n，

解得n=4，

∴拋物線的解析式為y=(x1)24，

∴拋物線的對稱軸為直線x=1，

∵點D與點C關于拋物線的對稱軸對稱，

∴點D的坐標為(2，3).

（2）連接PA、PC、PD，

∵點D與點C關于拋物線的對稱軸對稱，

∴PC=PD，

∴AC+PA+PC=AC+PA+PD，

∵AC為定值，PA+PDAD，

∴當PA+PC的值最小，即A，P，D三點在同一直線上時△PAC的周長最小，

由y=(x1)24=0解得：x1=1，x2=3，

∵A在B的左側，

∴A(1，0)，

由A，D兩點坐標可求得直線AD的解析式為y=x1，

當x=1時，y=x1=2，

∴當△PAC的周長最小時，點P的坐標為(1，2)；

（3）如圖中，作DQ∥AC交x軸于點Q，此時∠DQA=∠DAC，滿足條件，

∵A(1，0)，C(0，3)，

∴直線AC的解析式為y=3x3，

∴直線QD的解析式為y=3x+3，

令y=0，得x=1，

∴Q(1，0).