Question

【題目】如圖①，在平面直角坐標系中，A(0，1)，B(4，1)，C為x軸正半軸上一點，且AC平分∠OAB.

(1)求證：∠OAC＝∠OCA；

(2)如圖②，若分別作∠AOC的三等分線及∠OCA的外角的三等分線交于點P，即滿足∠POC＝∠AOC，∠PCE＝∠ACE，求∠P的大小；

(3)如圖③，在(2)中，若射線OP、CP滿足∠POC＝∠AOC，∠PCE＝∠ACE，猜想∠OPC的大小，并證明你的結論(用含n的式子表示)．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）15°（3）

【解析】試題分析：（1）根據AB坐標可以求得∠OAB大小，根據角平分線性質可求得∠OAC大小，即可解題；
（2）根據題干中給出的∠POC=∠AOC、∠PCE=∠ACE可以求得∠PCE和∠POC的大小，再根據三角形外角等于不相鄰兩內角和即可解題；
（3）解法和（2）相同，根據題干中給出的∠POC=∠AOC、∠PCE=∠ACE可以求得∠PCE和∠POC的大小，再根據三角形外角等于不相鄰兩內角和即可解題．

試題解析：(1)證明：∵A(0，1)，B(4，1)，∴AB∥CO，∴∠OAB＝180°－∠AOC＝90°.

∵AC平分∠OAB，∴∠OAC＝45°，∴∠OCA＝90°－45°＝45°，∴∠OAC＝∠OCA.

(2)解：∵∠POC＝∠AOC，∴∠POC＝×90°＝30°.∵∠PCE＝∠ACE，∴∠PCE＝ (180°－45°)＝45°.∵∠P＋∠POC＝∠PCE，∴∠P＝∠PCE－∠POC＝15°.

(3)解：∠OPC＝.

證明如下：∵∠POC＝∠AOC，∴∠POC＝×90°＝.∵∠PCE＝∠ACE，∴∠PCE＝ (180°－45°)＝.

∵∠OPC＋∠POC＝∠PCE，

∴∠OPC＝∠PCE－∠POC＝.