Question

【題目】、為的切線，切點分別為點、，延長交于點，交的延長線于點，連接、，與交于點．

（1）如圖1，求證：；

（2）如圖2，點是弧的中點，連接交AD于點，求證：；

（3）如圖3，在（2）的條件下：連接并延長交于點，連接交于點，若，，求線段的長．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）

【解析】

(1)由切線長定理可得CA=CB，∠ACO=∠BCO=∠ACB，∠CAO=90°，由等腰三角形的性質和余角的性質可得結論；
(2)由等弧所對的圓周角相等可得∠ABP=∠DBP，由余角的性質和外角的性質可得∠EBF=∠BFE，可得BE=FE；
(3)如圖3，連接BD，由全等三角形的性質和平行線分線段成比例可求BE=4，BC=AD=6=AC，OF=1，FD=2，AO=DO=3，以點A為原點，AE為x軸，AC為y軸，建立平面直角坐標系，分別求出直線FM，PH解析式，可求點H，點N的坐標，即可求解．

(1)∵CA、CB為⊙O的切線，切點分別為A、B，
∴CA=CB，∠ACO=∠BCO=∠ACB，∠CAO=90°，CO⊥AB，
∴∠CAM+∠ACM=90°，且∠CAM+∠BAO=90°，
∴∠BAO=∠ACM，
∴∠BAO=∠ACB；
(2)連接BD，BO，

∵點P是弧AD的中點，
∴= ，
∴∠ABP=∠DBP，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA，
∵CE是⊙O切線，
∴∠OBE=90°，
∵AD是直徑，
∴∠ABD=90°=∠OBE，
∴∠ABO=∠DBE=∠OAB，
∵∠EBF=∠PBD+∠DBE，∠BFE=∠OAB+∠ABF，
∴∠EBF=∠BFE，
∴BE=FE；
(3)如圖3，連接BD，

∵DF=2OF，
∴AO=DO=3OF，
∴AF=4OF，
∵∠ABP=∠PBD，
∴，
設BD=，則AB=，
∵OC⊥AB，
∴AM=BM=AB==BD，
∵AO=DO，AM=BM，
∴OM=BD=，BD∥MO，
∴∠BCO=∠DBE=∠OAB，且BM=BD，∠CMB=∠ABD=90°，
∴△CMB≌△ABD(AAS)，
∴CM=AB=2，BC=AD，
∴CO=CM+OM=，
∵BD∥CO，
∴，
∴，

∴BE=4，
∴BC=CE-BE=6

∴BC=AD=6=AC，
∴AO=DO=3，OF=1，FD=2，
如圖，以點A為原點，AE為軸，AC為y軸，建立平面直角坐標系，

∴點A(0，0)，點O(3，0)點C(0，6)，點F(4，0)，

∵⊙O半徑AO=DO=3，且=，

∴點P的坐標為(3，-3)，

∵CO=CM+OM=，OM=，CM=2，
∴，，

∴，，
∴點M的坐標為(，)，

設直線FM的解析式為，

∴，

解得：，
∴直線FM的解析式為：，
∴點H坐標為(0，3)，
設直線PH解析式為，

∴，

解得：，

∴直線PH解析式為：，
∴點N的坐標為(，0)
∴AH=3，AN=，
∴．