Question

【題目】如圖，AB＝16，O為AB中點，點C在線段OB上（不與點O，B重合），將OC繞點O逆時針旋轉270°后得到扇形COD，AP，BQ分別切優弧于點P，Q，且點P， Q在AB異側，連接OP．

（1）求證：AP＝BQ；

（2）當BQ＝4時，求扇形COQ的面積及的長（結果保留π）；

（3）若△APO的外心在扇形COD的內部，請直接寫出OC的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）4＜OC＜8．

【解析】

試題（1）連接OQ．只要證明Rt△APO≌Rt△BQO即可解決問題；

（2）求出優弧DQ的圓心角以及半徑即可解決問題；

（3）由△APO的外心是OA的中點，OA=8，推出△APO的外心在扇形COD的內部時，OC的取值范圍為4＜OC＜8；

試題解析：（1）證明：連接OQ．

∵AP、BQ是⊙O的切線，∴OP⊥AP，OQ⊥BQ，∴∠APO=∠BQO=90°，在Rt△APO和Rt△BQO中，∵OA=OB，OP=OQ，∴Rt△APO≌Rt△BQO，∴AP=BQ；

（2）∵Rt△APO≌Rt△BQO，∴∠AOP=∠BOQ，∴P、O、Q三點共線，∵在Rt△BOQ中，cosB=，∴∠B=30°，∠BOQ=60°，∴OQ=OB=4，∵∠COD=90°，∴∠QOD=90°+60°=150°，∴優弧的長==；

（3）∵△APO的外心是OA的中點，OA=8，∴△APO的外心在扇形COD的內部時，OC的取值范圍為4＜OC＜8．