Question

已知二次函數（a＞0）的圖象與x軸交于A（x₁，0）、B（x₂，0）（x₁＜x₂）兩點，與y軸交于點C，x₁，x₂是方程的兩根．

（1）若拋物線的頂點為D，求S_△ABC：S_△ACD的值；
（2）若∠ADC=90°，求二次函數的解析式．

Answer 1

解：（1）解方程，得x=－5或x=1，
∵x₁＜x₂，∴x₁=﹣5，x₂=1。∴A（﹣5，0），B（1，0）。
∴拋物線的解析式為：（a＞0）。
∴對稱軸為直線x=2，頂點D的坐標為（－2，－9a）。
令x=0，得y=－5a，∴C點的坐標為（0，﹣5a）。
依題意畫出圖形，如圖所示，

則OA=5，OB=1，AB=6，OC=5a。
過點D作DE⊥y軸于點E，
則DE=2，OE=9a，CE=OE－OC=4a。
∴
。
而，
∴。
（2）如圖所示，
在Rt△DCE中，由勾股定理得：CD²=DE²+CE²=4+16a²，
在Rt△AOC中，由勾股定理得：AC²=OA²+OC²=25+25a²，
設對稱軸x=2與x軸交于點F，則AF=3，
在Rt△ADF中，由勾股定理得：AD²=AF²+DF²=9+81a²。
∵∠ADC=90°，∴△ACD為直角三角形，
由勾股定理得：AD²+CD²=AC²，
即，化簡得：。
∵a＞0，∴。
∴拋物線的解析式為：，即。

解析