Question

【題目】（新定義）：A、B、C 為數軸上三點，若點 C 到 A 的距離是點 C 到 B 的距離的 3 倍，我們就稱點

C 是（A，B）的幸運點．

（特例感知）：

（1）如圖 1，點 A 表示的數為﹣1，點 B 表示的數為 3．表示 2 的點 C 到點 A 的距離是 3， 到點 B 的距離是 1，那么點 C 是（A，B）的幸運點．

①（B，A）的幸運點表示的數是 ；A．﹣1； B.0； C.1； D.2

②試說明 A 是（C，E）的幸運點．

（2）如圖 2，M、N 為數軸上兩點，點 M 所表示的數為﹣2，點 N 所表示的數為 4，則（M，N）的幸點示的數為 ．

（拓展應用）：

（3）如圖 3，A、B 為數軸上兩點，點 A 所表示的數為﹣20，點 B 所表示的數為 40．現有一只電子螞蟻 P 從點 B 出發，以 3 個單位每秒的速度向左運動，到達點 A 停止．當 t 為何值時，P、A 和 B 三個點中恰好有一個點為其余兩點的幸運點？

Answer 1

【答案】（1）①B，②見詳解；（2）7或2.5；（3）t為5秒，15秒，秒，秒.

【解析】

（1）①由題意可知，點0到B是到A點距離的3倍；②由數軸可知，AC=3，AE=1，可得AC=3AE；
（2）設【M，N】的幸運點為P，T表示的數為p，由題意可得|p+2|=3|p-4|，求解即可；
（3）由題意可得，BP=3t，AP=60-3t，分四種情況討論：①當P是【A，B】的幸運點時，PA=3PB②當P是【B，A】的幸運點時，PB=3PA③當A是【B，P】的幸運點時，AB=3PA，④當B是【A，P】的幸運點時，AB=3PB．

解：（1）①由題意可知，點0到B是到A點距離的3倍，
即EA=1，EB=3，
故選B．
②由數軸可知，AC=3，AE=1，
∴AC=3AE，
∴A是【C，E】的幸運點．
（2）設【M，N】的幸運點為P，T表示的數為p，
∴PM=3PN，
∴|p+2|=3|p-4|，
∴p+2=3（p-4）或p+2=-3（p-4），
∴p=7或p=2.5；
故答案為7或2.5；
（3）由題意可得，BP=3t，AP=60-3t，
①當P是【A，B】的幸運點時，PA=3PB，
∴60-3t=3×3t，
∴t=5；
②當P是【B，A】的幸運點時，PB=3PA，
∴3t=3×（60-3t），
∴t=15；
③當A是【B，P】的幸運點時，AB=3PA，
∴60=3（60-3t）
∴t= ；
④當B是【A，P】的幸運點時，AB=3PB，
∴60=3×3t，
∴t=；
∴t為5秒，15秒，秒，秒時，P、A、B中恰好有一個點為其余兩點的幸運點．