Question

【題目】如圖，△OAB中，OA=OB=10，∠AOB=70°，以點O為圓心，6為半徑的優弧 分別交OA、OB于點M，N．
（1）點P在右半弧上（∠BOP是銳角），將OP繞點O逆時針旋轉70°得OP′．求證：AP=BP′；
（2）點T在左半弧上，若AT與弧相切，求點T到OA的距離；
（3）設點Q在優弧 上，當△AOQ的面積最大時，直接寫出∠BOQ的度數．

Answer 1

【答案】
（1）證明：如圖1，∵∠AOP=∠AOB+∠BOP=80°+∠BOP，

∠BOP′=∠POP′+∠BOP=80°+∠BOP，

∴∠AOP=∠BOP′，

∵在△AOP和△BOP′中

，

∴△AOP≌△BOP′（SAS），

∴AP=BP′

（2）解：如圖1，連接OT，過點T作TH⊥OA于點H，

∵AT是⊙O的切線，

∴∠ATO=90°，

∴AT= = =8，

∵ ×OA×TH= ×AT×OT，

即 ×10×TH= ×8×6，

解得：TH= ，即點T到OA的距離為

（3）解：如圖2，當OQ⊥OA時，△AOQ的面積最大；

理由：∵OQ⊥OA，

∴QO是△AOQ中最長的高，則△AOQ的面積最大，

∴∠BOQ=∠AOQ+∠AOB=90°+70°=160°，

當Q點在優弧 右側上，

∵OQ⊥OA，

∴QO是△AOQ中最長的高，則△AOQ的面積最大，

∴∠BOQ=∠AOQ﹣∠AOB=90°﹣70°=20°，

綜上所述：當∠BOQ的度數為20°或160°時，△AOQ的面積最大

【解析】（1）首先根據已知得出∠AOP=∠BOP′，進而得出△AOP≌△BOP′，即可得出答案；（2）利用切線的性質得出∠ATO=90°，再利用勾股定理求出AT的長，進而得出TH的長即可得出答案；（3）當OQ⊥OA時，△AOQ面積最大，且左右兩半弧上各存在一點分別求出即可．