Question

【題目】（2017江蘇省蘇州市）某校機器人興趣小組在如圖①所示的矩形場地上開展訓練．機器人從點A出發，在矩形ABCD邊上沿著A→B→C→D的方向勻速移動，到達點D時停止移動．已知機器人的速度為1個單位長度/s，移動至拐角處調整方向需要1s（即在B、C處拐彎時分別用時1s）．設機器人所用時間為t（s）時，其所在位置用點P表示，P到對角線BD的距離（即垂線段 PQ的長）為d個單位長度，其中d與t的函數圖象如圖②所示．

（1）求AB、BC的長；

（2）如圖②，點M、N分別在線段EF、GH上，線段MN平行于橫軸，M、N的橫坐標分別為t1、t2．設機器人用了t1（s）到達點P1處，用了t2（s）到達點P2處（見圖①）．若CP1+CP2=7，求t1、t2的值．

Answer 1

【答案】（1）AB=8，BC=6；（2）t1=12，t2=20．

【解析】試題分析：（1）作AT⊥BD，垂足為T，由題意得到AB，AT的長，在Rt△ABT中，根據勾股定理得到BT的長，根據三角函數的定義即可得到結論；

（2）如圖，連接P1P2．過P1，P2分別作BD的垂線，垂足為Q1，Q2．則P1Q1∥P2Q2．根據平行線的性質得到d1=d2，得到P1Q1=P2Q2．根據平行線分線段成比例定理得到．設M，N的橫坐標分別為t1，t2，于是得到結論．

試題解析：（1）作AT⊥BD，垂足為T，由題意得，AB=8，AT=，在Rt△ABT中，AB2=BT2+AT2，∴BT=，∵tan∠ABD=，∴AD=6，即BC=6；

（2）在圖①中，連接P1P2．過P1，P2分別作BD的垂線，垂足為Q1，Q2．

則P1Q1∥P2Q2．

∵在圖②中，線段MN平行于橫軸，∴d1=d2，即P1Q1=P2Q2．∴

P1P2∥BD，∴ ．即．

又∵CP1+CP2=7，∴CP1=3，CP2=4．

設M，N的橫坐標分別為t1，t2，由題意得，CP1=15﹣t1，CP2=t2﹣16，∴t1=12，t2=20．