Question

【題目】如圖，是的直徑，點是上一點，的平分線交于點，過點作交的延長線于點．

（1）求證：是的切線；

（2）過點作于點，連接．若，，求的長度．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）連接OD，由等腰三角形的性質及角平分線的性質得出∠ADO＝∠DAE，從而OD∥AE，由DE∥BC得∠E＝90°，由兩直線平行，同旁內角互補得出∠ODE＝90°，由切線的判定定理得出答案；
（2）先由直徑所對的圓周角是直角得出∠ADB＝90°，再由OF＝1，BF＝2得出OB的值，進而得出AF和BA的值，然后證明△DBF∽△ABD，由相似三角形的性質得比例式，從而求得BD2的值，求算術平方根即可得出BD的值．

解：（1）連接OD，如圖：
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ADO，
∵AD平分∠CAB，
∴∠DAE＝∠OAD，
∴∠ADO＝∠DAE，
∴OD∥AE，
∵DE∥BC，
∴∠E＝90°，
∴∠ODE＝180°∠E＝90°，
∴DE是⊙O的切線；

（2）因為直徑，則

∵，

∴OB=3

∴，

∵∠ADB=∠DFB=90°, ∠B=∠B

∴△DBF∽△ABD

∴

∴

所以．