Question

如圖，正三角形ABC的邊長為1cm，將線段AC繞點A順時針旋轉120°至AP₁，形成扇形D₁；將線段BP₁繞點B順時針旋轉120°至BP₂，形成扇形D₂；將線段CP₂繞點C順時針旋轉120°至CP₃，形成扇形D₃；將線段AP₃繞點A順時針旋轉120°至AP₄，形成扇形D₄…．設l_n為扇形D_n的弧長（n=1，2，3…），回答下列問題：
（1）按照要求填表：

n	1	2	3	4
ln

（2）根據上表所反映的規律，試估計n至少為何值時，扇形D_n的弧長能繞地球赤道一周（設地球赤道半徑為6400km）．

Answer 1

分析：從上圖中可以找出規律，弧長的圓心角不變都是120度，變化的是半徑，而且第一次是1，第二次是2，第三次是3，依此下去，然后按照弧長公式計算．

解答：解：（1）根據弧長公式得l₁=

120π×1

180

=

2π

3

；
l₂=

120π×2

180

=

4π

3

；
l₃=

120π×3

180

=2π；
l₄=

120π×4

180

=

8π

3

．

n	1	2	3	4
ln	2π 3	4π 3	2π	8π 3

（2）根據上述規律可知：
1_n=

120π×n

180

=2π×6400000，
解得n=1.92×10⁷．

點評：本題主要考查了弧長公式的實際應用．