Question

【題目】定義：對于已知的兩個函數，任取自變量的一個值，當時，它們對應的函數值相等；當時，它們對應的函數值互為相反數，我們稱這樣的兩個函數互為相關函數.例如：正比例函數，它的相關函數為.

（1）已知點在一次函數的相關函數的圖像上，求的值；

（2）已知二次函數.

①當點在這個函數的相關函數的圖像上時，求的值；

②當時，求函數的相關函數的最大值和最小值.

（3）在平面直角坐標系中，點、的坐標分別為、，連結.直接寫出線段與二次函數的相關函數的圖像有兩個公共點時的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）1；（2）①、 ；②，；（3），

【解析】

（1）先求出的相關函數，然后代入求解，即可得到答案；

（2）先求出二次函數的相關函數，①分為m＜0和m≥0兩種情況將點B的坐標代入對應的關系式求解即可；

②當-3≤x＜0時，y=x2-4x+，然后可 此時的最大值和最小值，當0≤x≤3時，函數y=-x2+4x-，求得此時的最大值和最小值，從而可得到當-3≤x≤3時的最大值和最小值；

（3）首先確定出二次函數y=-x2+4x+n的相關函數與線段MN恰好有1個交點、2個交點、3個交點時n的值，然后結合函數圖象可確定出n的取值范圍．

解：（1）根據題意，

一次函數的相關函數為，

∴把點代入，則

，

∴；

（2）根據題意，二次函數的相關函數為，

①當m＜0時，將B（m，）代入y=x2-4x+得m2-4m+，

解得：m=2+（舍去）或m=．
當m≥0時，將B（m，）代入y=-x2+4x-得：-m2+4m-=，

解得：m=2+或m=2．
綜上所述：m=或m=或m=．
②當-3≤x＜0時，y=x2-4x+，拋物線的對稱軸為x=2，此時y隨x的增大而減小，

∴當時，有最大值，即，

∴此時y的最大值為．
當0≤x≤3時，函數y=-x2+4x，拋物線的對稱軸為x=2，

當x=0有最小值，最小值為，

當x=2時，有最大值，最大值y=．
綜上所述，當-3≤x≤3時，函數y=-x2+4x的相關函數的最大值為，最小值為；

（3）如圖1所示：線段MN與二次函數y=-x2+4x+n的相關函數的圖象恰有1個公共點．

∴當x=2時，y=1，即-4+8+n=1，解得n=-3．
如圖2所示：線段MN與二次函數y=-x2+4x+n的相關函數的圖象恰有3個公共點．

∵拋物線y=x2-4x-n與y軸交點縱坐標為1，
∴-n=1，解得：n=-1．
∴當-3＜n≤-1時，線段MN與二次函數y=-x2+4x+n的相關函數的圖象恰有2個公共點．
如圖3所示：線段MN與二次函數y=-x2+4x+n的相關函數的圖象恰有3個公共點．

∵拋物線y=-x2+4x+n經過點（0，1），
∴n=1．
如圖4所示：線段MN與二次函數y=-x2+4x+n的相關函數的圖象恰有2個公共點．

∵拋物線y=x2-4x-n經過點M（，1），
∴+2-n=1，解得：n=．
∴1＜n≤時，線段MN與二次函數y=-x2+4x+n的相關函數的圖象恰有2個公共點．
綜上所述，n的取值范圍是-3＜n≤-1或1＜n≤．