Question

【題目】如圖，已知四邊形ABCD為正方形，AB=2 ，點E為對角線AC上一動點，連接DE，過點E作EF⊥DE，交射線BC于點F，以DE，EF為鄰邊作矩形DEFG，連接CG．

（1）求證：矩形DEFG是正方形；
（2）探究：CE+CG的值是否為定值？若是，請求出這個定值；若不是，請說明理由；
（3）設AE=x，四邊形DEFG的面積為S，求出S與x的函數關系式．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如圖，作EM⊥BC，EN⊥CD

∴∠MEN=90°，

∵點E是正方形ABCD對角線上的點，

∴EM=EN，

∵∠DEF=90°，

∴∠DEN=∠MEF，

在△DEM和△FEM中，

，

∴△DEM≌△FEM，

∴EF=DE，

∵四邊形DEFG是矩形，

∴矩形DEFG是正方形；

（2）

解：CE+CG的值是定值，定值為4，

∵正方形DEFG和正方形ABCD，

∴DE=DG，AD=DC，

∵∠CDG+∠CDE=∠ADE+∠CDE=90°，

∴∠CDG=∠ADE，

∴△ADE≌△CDG，

∴AE=CG．

∴CE+CG=CE+AE=AC= AB= ×2 =4，

（3）

解：如圖，

∵正方形ABCD中，AB=2 ，

∴AC=4，

過點E作EM⊥AD，

∴∠DAE=45°，

∵AE=x，

∴AM=EM= x，

在Rt△DME中，DM=AD﹣AM=2 ﹣ x，EM= x，

根據勾股定理得，DE2=DM2+EM2=（2 ﹣ x）2+（ x）2=x2﹣4x+8，

∵四邊形DEFG為正方形，

∴S=S正方形DEFG=DE2=x2﹣4x+8．

【解析】（1）作出輔助線，得到EN=EM，然后判斷∠DEN=∠FEM，得到△DEM≌△FEM，則有DE=EF即可；（2）同（1）的方法判斷出△ADE≌△CDG得到CG=AE，即：CE+CG=CE+AE=AC=4；（3）由正方形的性質得到∠DAE=45°，表示出AM=EM，再表示出DM，再用勾股定理求出DE2 ．
【考點精析】關于本題考查的正方形的判定方法，需要了解先判定一個四邊形是矩形，再判定出有一組鄰邊相等；先判定一個四邊形是菱形，再判定出有一個角是直角才能得出正確答案．