Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，點B坐標為（0，m）（m＞0），點A在x軸正半軸上，直線AB經過點A，B，且tan∠BAO＝2．

（1）若點A的坐標為（3，0），求直線AB的表達式；

（2）反比例函數y＝的圖象與直線AB交于第一象限的C、D兩點（BD＜BC），當AD＝2DB時，求k1的值（用含m的式子表示）；

（3）在（1）的條件下，設線段AB的中點為E，過點E作x軸的垂線，垂足為M，交反比例函數y＝的圖象于點F．分別連接OE、OF，當△OEF與△OBE相似時，請直接寫出滿足條件的k2值．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣2x+6 （2）4（3）或﹣

【解析】

（1）先通過解直角三角形求得A的坐標，然后根據待定系數法即可求得直線AB的解析式；

（2）作DE∥OA，根據題意得出，求得DE，即D的橫坐標，代入AB的解析式求得縱坐標，然后根據反比例函數圖象上點的坐標特征即可求得k1；

（3）根據勾股定理求得AB、OE，進一步求得BE，然后根據相似三角形的性質求得EF的長，從而求得FM的長，得出F的坐標，然后根據反比例函數圖象上點的坐標特征即可求得k2．

解：（1）∵A（3，0）、B（0，m）（m＞0），

∴OA＝3，OB＝m，

∵tan∠BAO＝＝2，

∴m＝6，

設直線AB的解析式為y＝kx+b，

代入A（3，0）、B（0，6）得：，

解得：b＝6，k＝﹣2，

∴直線AB的解析式為y＝﹣2x+6；

（2）如圖1，

∵AD＝2DB，

∴，

作DE∥OA，

∴，

∴DE＝OA＝1，

∴D的橫坐標為1，

代入y＝﹣2x+6得，y＝4，

∴D（1，4），

∴k1＝1×4＝4；

（3）如圖2，

∵A（3，0），B（0，6），

∴E（，3），AB＝，

∵OE是Rt△OAB斜邊上的中線，

∴OE＝AB＝，BE＝，

∵EM⊥x軸，

∴F的橫坐標為，

當△OEF∽△OBE，

∴＝，

∴，

∴EF＝，

∴FM＝3﹣＝，

∴F（，），

∴k2＝×＝，

如圖3，

當△OEF∽△EOB時，

∴，

∴EF＝OB＝6，

∴F（，﹣3），

∴k2＝﹣3×＝﹣；

綜上所述，滿足條件的k2值為或﹣．