Question

【題目】定義：如圖1，等腰△ABC中，點E，F分別在腰AB，AC上，連結EF，若AE＝CF，則稱EF為該等腰三角形的逆等線．

（1）如圖1，EF是等腰△ABC的逆等線，若EF⊥AB，AB＝AC＝5，AE ＝2，求逆等線EF的長；

（2）如圖2，若等腰直角△DEF的直角頂點D恰好為等腰直角△ABC底邊BC上的中點，且點E，F分別在AB，AC上，求證：EF為等腰△ABC的逆等線；

（3）如圖3，邊長為6的等邊三角形△AOC的邊OC與X軸重合，EF是該等邊三角形的逆等線．F點的坐標為（5，）；試求點E的坐標(若需要，本題可以直接應用結論：在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半．)

Answer 1

【答案】（1） （2）見解析 （3）E（2，）

【解析】

（1）由逆等線的性質可求得CF和AE，由條件可求得AF，在Rt△AEF中，由勾股定理可求得EF的長；
（2）連接AD，可證明△EDA≌△FDC，可求得AE=CF，可證得結論；
（3）過E、F分別作EG⊥OC于G , FH⊥OC于H，由勾股定理可得FC，由逆等線知AE=2，在△OEG中，分別求得OG、EG即可得點E的坐標.

解：
（1）∵EF是等腰△ABC的逆等線，
∴CF=AE=2，又AB=AC=5，
∴AF=3，
∵EF⊥AB，
∴EF= = ，

（2）連結AD，在等腰Rt△ABC中，點D為底邊上中點，

∴AD=CD且∠ADC=90°，
又∵DE=DF且∠EDF=90°，
∴∠EDA=90°-∠ADF=∠FDC，
在△EDA和△FDC中，

,

∴△EDA≌△FDC（SAS），
∴AE=CF，
∴EF為等腰△ABC的逆等線；

(3)過E、F分別作EG⊥OC于G , FH⊥OC于H，

∵F點的坐標為（5，），

∴FH=,OH=5，

則HC=OC-OH=6-5=1,

在Rt△FHC中，FC= ,

∴AE=FC=2,

∴OE=OA-AE=6-2=4,

又∵FH⊥OC，∠AOC=60°，

∴∠OEG=30°，

∴OG=OE=2,( 在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半)

∴EG= = = ,

∴E（2，）.