Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，對于P(m，n)，若點Q的坐標為(m，|m-n|)，則稱點Q為點P的關聯點．

（1）請直接寫出點(2，2)的關聯點；

（2）如果點P在一次函數y=x-1的圖像上，其“關聯點”Q與點P重合，求點P的坐標；

（3）已知點P在一次函數y=x(x>0)和一次函數y=x(x>0)所圍成的區域內，且點P的“關聯點”Q在二次函數的圖像上，求線段PQ的最大值及此時點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）（2；0）；（2）(2；1) ；（3）PQ的最大值為，此時P（，）

【解析】試題分析：（1）直接根據關聯點的定義可求得答案；（2）設P（x，x-1），由關聯點的定義表示出Q點的坐標，由Q與P重合可求得P點的坐標；（3）設點P的坐標為（a，b），由題意可知：a>0，b>0且a>b，2b>a，然后得到點Q的坐標為（a，a-b），再列出PQ與a的函數關系式，最后利用配方法可求得PQ的最大值，以及點P的坐標．

試題解析：(1)點(2，2)的關聯點的坐標為(2，|22|)，即(2，0).

(2)設P(x，x1)，則點P的關聯點的坐標為(x，1).

∵點P的“關聯點”Q與點P重合，

∴x1=1，解得x=2.

∴點P的坐標為(2，1).

(3)設點P的坐標為(a，b).

∵點P在一次函數y=x(x>0)和一次函數y=x(x>0)所圍成的區域內，

∴a>0，b>0且a>b，2b>a.

∴點P的“關聯點”Q的坐標為(a，ab).

∵點Q在二次函數y=x2的圖象上，

∴ab=a2,整理得b=aa2.

∵PQ=b(ab)=2ba，

∴PQ=2(aa2)a=2a2+a=2(a)2+.

∴當a=時，PQ有最大值,最大值為.

把a=代入b=aa2得b=.

∴點P的坐標為(，6).