Question

【題目】如圖1，點O為直線AB上一點，過點O作射線OC，使∠BOC=120°．將一直角三角板的直角頂點放在點O處，一邊OM在射線OB上，另一邊ON在直線AB的下方．

（1）將圖1中的三角板繞點O按每秒10°的速度沿逆時針方向旋轉一周．在旋轉的過程中，假如第t秒時，OA、OC、ON三條射線構成相等的角，求此時t的值為多少？

（2）將圖1中的三角板繞點O順時針旋轉圖2，使ON在∠AOC的內部，請探究：∠AOM與∠NOC之間的數量關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）6、15、24、33．（2）∠AOM﹣∠NOC=30°，理由見解析

【解析】

試題分析：（1）根據已知條件可知，在第t秒時，三角板轉過的角度為10°t，然后按照OA、OC、ON三條射線構成相等的角分四種情況討論，即可求出t的值；

（2）根據三角板∠MON=90°可求出∠AOM、∠NOC和∠AON的關系，然后兩角相加即可求出二者之間的數量關系．

解：（1）∵三角板繞點O按每秒10°的速度沿逆時針方向旋轉，

∴第t秒時，三角板轉過的角度為10°t，

當三角板轉到如圖①所示時，∠AON=∠CON

∵∠AON=90°+10°t，∠CON=∠BOC+∠BON=120°+90°﹣10°t=210°﹣10°t

∴90°+10°t=210°﹣10°t

即t=6；

當三角板轉到如圖②所示時，∠AOC=∠CON=180°﹣120°=60°

∵∠CON=∠BOC﹣∠BON=120°﹣（10°t﹣90°）=210°﹣10°t

∴210°﹣10°t=60°

即t=15；

當三角板轉到如圖③所示時，∠AON=∠CON=，

∵∠CON=∠BON﹣∠BOC=（10°t﹣90°）﹣120°=10°t﹣210°

∴10°t﹣210°=30°

即t=24；

當三角板轉到如圖④所示時，∠AON=∠AOC=60°

∵∠AON=10°t﹣180°﹣90°=10°t﹣270°

∴10°t﹣270°=60°

即t=33．

故t的值為6、15、24、33．

（2）∵∠MON=90°，∠AOC=60°，

∴∠AOM=90°﹣∠AON，∠NOC=60°﹣∠AON，

∴∠AOM﹣∠NOC=（90°﹣∠AON）﹣（60°﹣∠AON）=30°