Question

【題目】如圖，已知∠MAN=120°，AC平分∠MAN．B，D分別在射線AN，AM上．

（1）在圖（1）中，當∠ABC=∠ADC=90°時，求證：AD+AB=AC．
（2）若把（1）中的條件“∠ABC=∠ADC=90°”改為∠ABC+∠ADC=180°，其他條件不變，如圖（2）所示．則（1）中的結論是否仍然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵∠MAN=120°，AC平分∠MAN，

∴∠DAC=∠BAC=60°

∵∠ABC=∠ADC=90°，

∴∠DCA=∠BCA=30°，

在Rt△ACD中，∠DCA=30°，Rt△ACB中，∠BCA=30°

∴AC=2AD，AC=2AB，

∴AD+AB=AC

（2）解：結論AD+AB=AC成立．

理由如下：在AN上截取AE=AC，連接CE，

∵∠BAC=60°，

∴△CAE為等邊三角形，

∴AC=CE，∠AEC=60°，

∵∠DAC=60°，

∴∠DAC=∠AEC，

∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ABC+∠EBC=180°，

∴∠ADC=∠EBC，

∴△ADC≌△EBC，

∴DC=BC，DA=BE，

∴AD+AB=AB+BE=AE，

∴AD+AB=AC

【解析】（1）由題中條件可得，∠DCA=∠BCA=30°，在直角三角形中可得AC=2AD，AC=2AB，所以AD+AB=AC．（2）在AN上截取AE=AC，連接CE，可得△CAE為等邊三角形，進而可得△ADC≌△EBC，即DC=BC，DA=BE，進而結論得證．