Question

【題目】如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AC為直徑，弦BD=BA，BE⊥DC交DC的延長線于點E．

（1）求證：∠1=∠BAD；
（2）求證：BE是⊙O的切線．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：∵BD=BA，

∴∠BDA=∠BAD，

∵∠1=∠BDA，

∴∠1=∠BAD；

（2）

證明：連接BO，

∵∠ABC=90°，

又∵∠BAD+∠BCD=180°，

∴∠BCO+∠BCD=180°，

∵OB=OC，

∴∠BCO=∠CBO，

∴∠CBO+∠BCD=180°，

∴OB∥DE，

∵BE⊥DE，

∴EB⊥OB，

∵OB是⊙O的半徑，

∴BE是⊙O的切線．

【解析】（1）根據等腰三角形的性質和圓周角定理得出即可；（2）連接BO，求出OB∥DE，推出EB⊥OB，根據切線的判定得出即可；本題考查了三角形的外接圓與外心，等腰三角形的性質，切線的判定，熟練掌握切線的判定定理是解題的關鍵．
【考點精析】本題主要考查了圓周角定理和三角形的外接圓與外心的相關知識點，需要掌握頂點在圓心上的角叫做圓心角;頂點在圓周上，且它的兩邊分別與圓有另一個交點的角叫做圓周角;一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半；過三角形的三個頂點的圓叫做三角形的外接圓，其圓心叫做三角形的外心才能正確解答此題．