Question

【題目】已知拋物線經過定點A．

（1）直接寫出A點坐標；

（2）直線y=t (t<6)與拋物線交于B，C兩點（B在C 的左邊），過點A作AD⊥BC于點D，是否存在t的值，使得對于任意的m，∠DAC=∠ABD恒成立，若存在，請求t的值；若不存在，請說明理由．

（3）如圖，當m=1時，直線y=2x交對稱軸于點E，在直線OE的右側作∠EOP交拋物線于點P，使得tan∠EOP=，已知x軸上有一個點M(t，0)， EM+PM是否存在最小值？若存在，求t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1)A(-2，6)；(2)存在，；(3)存在，

【解析】

(1)將解析式變形，得到m的系數為0，即可得出點A的坐標；

(2)設B、C的橫坐標分別為，由方程組得：，得到，，根據題意證得△ADC∽△BDA，得，即，即可求得答案；

(3)先求得點E的坐標，利用tan∠EOP=，求得，從而依次求得點G的坐標為(，)、直線OP的解析式、點P的坐標，點E關于軸的對稱點F，利用軸對稱的性質找到點M，求得直線FP的解析式即可求解．

(1)∵拋物線，

∴當時，無論為何值，拋物線經過定點A，
∴，，
∴定點A的坐標為(，)；
(2)設直線與拋物線的交點B、C兩點的橫坐標分別為，

由方程組得：，

∴，，

∵∠DAC=∠ABD，∠ADC=∠BDA，

∴△ADC∽△BDA，

∴，

∴，

∵，，，

∴，

整理得：，

解得：(舍去)，

∴當t時，使得對于任意的m，∠DAC=∠ABD恒成立；

(3)當時，拋物線的解析式為，對稱軸為直線，

設對稱軸交OP于G，交軸于H，如圖：

∵直線交對稱軸于點E，

∴點E的坐標為(，)，

∴OH=2，EH=4，

，

∵，

∴，

∴，

設GH=，則，

∵，即，

解得：，

∴點G的坐標為(，)，

設直線OP的解析式為：，

把點G的坐標為(，)代入得：，

∴直線OP的解析式為：，

解方程組得：或，

∴點P的坐標為(，)，

作點E關于軸的對稱點F，連接PF交軸于點M，此時EM+PM取得最小值，

∵點E的坐標為(，)，

∴點F的坐標為(，)，

設直線FP的解析式為：，

把點F、點P的坐標代入得：，

解得：，

∴直線FP的解析式為：，

令，則，

∴點M的坐標為(，)，

∴當時，EM+PM存在最小值．