Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2+bx﹣與y軸交于點C，與x軸交于點A（﹣1，0），B（3，0）．

（1）求這個拋物線的解析式；

（2）將△AOC以每秒一個單位的速度沿x軸向右平移，平移時間為t秒，平移后的△A′O′C′與△BOC重疊部分的面積為S，A與B重合時停止平移，求S與t的函數關系式；

（3）點P在x軸上，連接CP，點B關于直線CP的對稱點為B′，若點B′落在這個拋物線的對稱軸上，請直接寫出所有符合條件的點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣x﹣；（2）S＝；（3）點P的坐標為（，0）

【解析】

（1）將點A，B的坐標代入解析式即可求得；
（2）分三種情況討論，設在運動過程中A'C'交OC于點H，交BC于點N，O'C'交BC于點M，分別用含t的代數式表示出相關線段的長度，如圖1-1，當0＜t≤1時，利用算式S=S梯形O'MCO﹣S△HNC；如圖1-2，當1＜t≤3時，利用算式S=S△A'BN﹣S△BO'M；如圖1-3，當3＜t≤4時，利用算式S=S△A'BN，即可以寫出結果；
（3）求出拋物線的對稱軸，如圖2，過C作CG⊥對稱軸于點G，利用軸對稱的性質及勾股定理求出點B'的坐標，進一步可求出點P的坐標．

(1)將點A(﹣1，0)，B(3，0)代入解析式，

得，，

解得，，-，

∴拋物線的解析式為：y=x2﹣x﹣，

(2)在y=x2﹣x﹣中，當x=0時，y=-，

∴C(0，﹣)，

∴在中，，

∴∠OAC=60°，

在中，，

∴∠OBC=30°，

設在運動過程中A'C'交OC于點H，交BC于點N，O'C'交BC于點M，

如圖1﹣1，當0＜t≤1時，

A'O=1﹣t，OH=(1﹣t)，HC=OC﹣OH=t，CN=CH=t，HN=CN=t，

BO'=3﹣t，O'M=BO'= (3﹣t)=﹣t，

∴S=S梯形O'MCO﹣S△HNC

=(+﹣t)t﹣×t×t

=t2+t；

如圖1﹣2，當1＜t≤3時，

A'B=4﹣t，A'N=A'B=2﹣t，BN=A'N=2﹣t，BO'=3﹣t，MO'=BO'=﹣t，

∴S=S△A'BN﹣S△BO'M

=(2﹣t)(2﹣t)﹣(3﹣t)(﹣t)

=﹣t2+；

如圖1﹣3，當3＜t≤4時，

S=S△A'BN

=(2﹣t)(2﹣t)

=t2﹣t+2，

綜上所述，S=；

(3)在拋物線y=x2﹣x﹣中，

對稱軸為x=﹣=1，

如圖2，過C作CG⊥對稱軸于點G，

則CG=1，

由軸對稱的性質知，CB'=CB==2，

∴G==，

∴B'(1，﹣)，

設點P的坐標為(a，0)，

由軸對稱的性質知，PB=PB'，

∴(3﹣a)2=(﹣)2+(a﹣1)2，

解得，a=，

∴點P的坐標為(，0)．