Question

【題目】如圖，拋物線y=﹣x2+mx+n與x軸交于A，B兩點，y與軸交于點C，拋物線的對稱軸交x軸于點D．已知A（﹣1，0），C（0，3）

（1）求拋物線的解析式；
（2）在拋物線的對稱軸上是否存在P點，使△PCD是以CD為腰的等腰三角形，如果存在，直接寫出點P的坐標，如果不存在，請說明理由；
（3）點E是線段BC上的一個動點，過點E作x軸的垂線與拋物線相交于點F，
①求直線BC 的解析式；
②當點E運動到什么位置時，四邊形CDBF的面積最大？求四邊形CDBF的最大面積及此時點E的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵拋物線y=﹣ x2+mx+n經過A（﹣1，0），C（0，2）．

解得： ，

∴拋物線的解析式為：y=﹣ x2+ x+2

（2）

解：如圖1，∵y=﹣ x2+ x+2，

∴y=﹣ （x﹣ ）2+ ，

∴拋物線的對稱軸是直線x= ．

∴OD= ．

∵C（0，2），

∴OC=2．

在Rt△OCD中，由勾股定理，得CD= ．

∵△CDP是以CD為腰的等腰三角形，

∴CP1=DP2=DP3．

作CH⊥x軸于H，

∴HP1=HD=2，

∴DP1=4．

∴P1（ ，4），P2（ ， ），P3（ ，﹣ ）

（3）

解：當y=0時，0=﹣ x2+ x+2

∴x1=﹣1，x2=4，

∴B（4，0）．

設直線BC的解析式為y=kx+b，由圖象，得

，

解得： ，

∴直線BC的解析式為：y=﹣ x+2．

如圖2，過點C作CM⊥EF于M，設E（a，﹣ a+2），F（a，﹣ a2+ a+2），

∴EF=﹣ a2+ a+2﹣（﹣ a+2）=﹣ a2+2a（0≤x≤4）．

∵S四邊形CDBF=S△BCD+S△CEF+S△BEF= BDOC+ EFCM+ EFBN，

= ×2+ a（﹣ a2+2a）+ （4﹣a）（﹣ a2+2a），

=﹣a2+4a+ （0≤x≤4）．

=﹣（a﹣2）2+

∴a=2時，S四邊形CDBF的面積最大= ，

∴E（2，1）．

【解析】（1）由待定系數法建立二元一次方程組求出m、n的值即可；（2）如圖1中，分兩種情形討論①當PD=DC時，當CP=CD時，分別寫出點P坐標即可．（3）先求出BC的解析式，設出點E的橫坐標為a，由四邊形CDBF的面積=S△BCD+S△CEF+S△BEF求出S與a的關系式，由二次函數的性質就可以求出結論．
【考點精析】認真審題，首先需要了解二次函數的圖象(二次函數圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點)，還要掌握二次函數的性質(增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小)的相關知識才是答題的關鍵．