Question

如圖1，已知等邊△ABC的邊長為1，D、E、F分別是AB、BC、AC邊上的點（均不與點A、B、C重合），記△DEF的周長為.

（1）若D、E、F分別是AB、BC、AC邊上的中點，則=_______；
（2）若D、E、F分別是AB、BC、AC邊上任意點，則的取值范圍是            .
小亮和小明對第（2）問中的最小值進行了討論，小亮先提出了自己的想法：將以AC邊為軸翻折一次得，再將以為軸翻折一次得，如圖2所示. 則由軸對稱的性質可知，，根據兩點之間線段最短，可得. 老師聽了后說：“你的想法很好，但的長度會因點D的位置變化而變化，所以還得不出我們想要的結果.”小明接過老師的話說：“那我們繼續再翻折3次就可以了”.請參考他們的想法，寫出你的答案.

Answer 1

解：（1）;     ……………………………2分
（2）.     .……………………………5分

解析考點：翻折變換（折疊問題）；等邊三角形的性質；三角形中位線定理．
分析：（1）根據三角形的中位線的性質即可求得答案；
（2）根據翻折變換的性質將△ABC翻折5次，再利用梯形的性質求解即可．
解：（1）∵等邊△ABC的邊長為1，
∴AB=AC=BC=1，
∵D、E、F分別是AB、BC、AC邊上的中點，
∴DE=AC=，EF=AB=，DF=BC=，
∴△DEF的周長為p=++=；
（2）
根據題意與由軸對稱的性質可知，D₂F₂+F₂E₃+E₃D₄=p，
∵D₂與D₄分別是A₁B₁與A₂B₂的中點時D₂、F₂、E₃、D₄共線，
∴當D₂與D₄分別是A₁B₁與A₂B₂的中點時，p最小值為：（A₁B₂+A₂B₁）=，
∵p＜AB+AC+BC=3，
∴p的取值范圍是：≤p＜3．
故答案為：（1），（2）≤p＜3．