Question

【題目】如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，動點M從點A出發沿A-C-B向點B勻速運動，動點N從點B出發沿B-C-A向點A運動.設MC的長為y1(cm)，NC的長為y2(cm)，點M的運動時間為x(s)；y1、y2與x的函數圖像如圖2所示.

（1）線段AC= cm，點M運動 s后點N開始運動；

（2）求點P的坐標，并寫出它的實際意義；

（3）當∠CMN=45°時，求x的值.

Answer 1

【答案】（1）10，1；（2）P為（，0）；點P的實際意義為：點M運動到點C，MC=0；（3）當∠CMN=45°時，x的值為2或4.

【解析】

（1）由函數圖像可知，AC=10，點M運動1秒后，點N開始運動；

（2）由點M為勻速運動，則先計算點M的速度，然后求出點M運動到點C時的時間，即求出點P的坐標；

（3）先求出點N在BC上的運動速度和在AC上的運動速度，結合∠CMN=45°，則CM=CN，可分為兩種情況進行①點M在AC上，點N在BC上；②點M在BC上，點N在AC上；分別列式求解即可.

解：（1）根據函數的圖像可知，

當點M與點A重合時，AC=MC=10cm，

當點N與點B重合時，BC=NC=8cm，

由圖可知，點M運動1秒后，點N開始運動，

故答案為：10，1；

（2）由題意，點M為勻速運動，則

點M的速度為：，

∴當點M運動到點C時，MC=0，則

點P的橫坐標為：，

∴點P的坐標為：（，0）；

點P的實際意義為：點M運動到點C，MC=0；

（3）由圖可知，點N在BC上運動的速度為：，

點N在AC上運動的速度為：；

∵∠CMN=45°，

∴△CMN是等腰直角三角形，即MC=NC，

①如圖，當點M在AC上，點N在BC上時，有

設x秒后，∠CMN=45°，

∴，，

∴，

解得：；

②如圖，當點M在BC上，點N在AC上時，有

點N到達點C所用的時間為，

設x秒后，∠CMN=45°，

∴，，

∴，

解得：；

綜合上述，當∠CMN=45°時，x的值為2或4.