Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，點A和點B的坐標分別為A（4，0）、B（0，2），將△ABO繞點P（2，2）順時針旋轉得到△OCD，點A、B和O的對應點分別為點O、C和D，

（1）畫出△OCD，并寫出點C和點D的坐標；

（2）連接AC，在直線AC的右側取點M，使∠AMC=45°，

①若點M在x軸上，則點M的坐標為 ；

②若△ACM為直角三角形，求點M的坐標；

（3）若點N滿足∠ANC＞45°，請確定點N的位置（不要求說明理由）.

Answer 1

【答案】(1)畫圖詳見解析；C（2，4），D（0，4）；(2)①（6，0）；②點M的坐標為（8，2）或（6，6）；(3)點N在以點（5，3）或點（1，1）為圓心，以為半徑的圓內．

【解析】

試題分析：（1）先確定出OA，OB，再由旋轉的性質得出OD=4，CD=2，即可得出結論；

（2）先構造出滿足條件的點M的位置，利用等腰三角形的性質和等腰直角三角形的性質即可得出結論；

（3）同（2）①的方法得出結論．

試題解析：（1）如圖1，

∵點A和點B的坐標分別為A（4，0）、B（0，2），

∴OA=4，OB=2，

由旋轉知，△POD≌△PAO，△PCD≌△PBO，

∴OD=OA=4，CD=OB=2，

∴C（2，4），D（0，4）；

（2）①如圖2，

∵A（4，0），C（2，4），

∴AC=，

以AC為斜邊在直線AC右側作等腰直角三角形ACO′，以O′為圓心，O′A為半徑作圓，

∴∠AMC=∠AO′C=45°，

過點O′作O′G⊥AC，

∵A（4，0），C（2，4），

∴G（3，2），

∴直線AC的解析式為y=﹣2x+8，

∴直線O′G的解析式為y=，

設點O′的坐標為（m，），

∴==，

∴m=5或m=1（點O′在直線AC右側，所以舍去），

∴O′（5，3），

∴O′A=，

在Rt△AO′N中，O′N=3，AN==1，

∴AM=2AN=2，

∴M（6，0）；

故答案為:（6，0），

②如圖3，

當∠CAM為直角時，

分別過點C，M作x軸的垂線，垂足分別為E，F．

∵CO=CA，

∴OE=AE=OA=2，

∴∠CAE+∠ACE=90°，

∵∠CAE+∠FAM=90°，

∴∠ACE=∠FAM，

在△ACE和△MAF中∠AEC=∠MFA，∠ACE=∠FAM，AC=AM，

∴△CEA≌△AFM，

∴MF=AE=2，AF=CE=4，

∴OF=8，

∴M（8，2）；

當∠ACM為直角時，

同理可得M（6，6）；

綜上所述，點M的坐標為（8，2）或（6，6）．

（3）如圖3，

∵A（4，0），C（2，4），

∴AC=，

以AC為斜邊在直線AC右側作等腰直角三角形ACO′，以O′為圓心，O′A為半徑作圓，

∴∠ANC＜∠AO′C=45°，

過點O′作O′G⊥AC，

∵A（4，0），C（2，4），

∴G（3，2），直線AC的解析式為y=﹣2x+8，

∴直線O′G的解析式為y=，

設點O′的坐標為（m，），

∴==，

∴m=5或m=1，

∴O′（5，3）或（1，1），

∵A（4，0），

∴O′A=，

∴點N在以點（5，3）或點（1，1）為圓心，以為半徑的圓內．