Question

【題目】如圖，一條直線與反比例函數的圖象交于A（1，4），B（4，n）兩點，與x軸交于點D，AC⊥x軸，垂足為C．

（1）求反比例函數的解析式及D點的坐標；

（2）點P是線段AD的中點，點E，F分別從C，D兩點同時出發，以每秒1個單位的速度沿CA，DC運動，到點A，C時停止運動，設運動的時間為t（s）．

①求證：PE＝PF．②若△PEF的面積為S，求S的最小值．

Answer 1

【答案】（1），D（5，0）；（2）①證明見試題解析；②2．

【解析】

（1）把點A的坐標代入求出k的值，即可得出反比例函數的解析式；求出點B的坐標，再求出直線AB的解析式，即可求出D點的坐標；

（2）①由△ACD為等腰直角三角形，得出∠ADC=45°，得出CP=PD，CP⊥AD，∠ADC=∠ACP，即可得出△ECP≌△FDP，從而有PE=PF；

②由△ECP≌△FDP，得出∠EPC=∠FPD，得出∠EPF=∠CPD=90°，得到△EPF為等腰直角三角形，從而有△PEF的面積S= ，當PE⊥AC時，PE最小，求出PE的最小值，即可得出S的最小值．

（1）把點A（1，4）代入得：k=4，∴反比例函數的解析式為：；把點B（4，n）代入得：n=1，∴B（4，1），設直線AB的解析式為y=kx+b，把A（1，4），B（4，1）代入y=kx+b得：，解得：k=﹣1，b=5，∴直線AB的解析式為：y=﹣x+5，當y=0時，x=5，∴D點坐標為：（5，0）；

（2）①∵A（1，4），C（1，0 ），D（5，0），AC⊥x軸于C，∴AC=CD=4，∴△ACD為等腰直角三角形，∴∠ADC=45°，∵P為AD中點，∴∠ACP=∠DCP=45°，CP=PD，CP⊥AD，∴∠ADC=∠ACP，∵點E，F分別從C，D兩點同時出發，以每秒1個單位的速度沿CA，DC運動，∴EC=DF，在△ECP和△FDP中，∵CP=PD，∠ECP=∠PDF，EC=DF，∴△ECP≌△FDP（SAS），∴PE=PF；

②∵△ECP≌△FDP，∴∠EPC=∠FPD，∴∠EPF=∠CPD=90°，∴△PEF為等腰直角三角形，∴△PEF的面積S= ，∴△PEF的面積最小時，EP最小，∵當PE⊥AC時，PE最小，此時EP最小值=CD=2，∴△PEF的面積S的最小值==2．