Question

【題目】如圖，已知直線l1：y＝2x+4與y軸交于A點，與x軸交于點B，經過A點的直線l2與直線l1所夾的銳角為45°．

（1）過點B作CB⊥AB，交l2于C，求點C的坐標．

（2）求l2的函數解析式．

（3）在直線l1上存在點M，直線l2上存在點N，使得點A、O、M、N四點組成的四邊形是平行四邊形，請直接寫出點N的坐標．

Answer 1

【答案】（1）C(-6，2)；（2）；（3） 或

【解析】

(1)過作CD⊥x軸于點D，易證△BDC≌△AOB，由此可得BD=OA，CD=OB，由直線：，可得A（0，4），B（-2，0），可得BD=OA=4，CD=OB=2，有OD=4+2=6 ，即可求得點C坐標；

(2)利用待定系數法進行求解即可；

（3）分OA為平行四邊形的邊和OA為平行四邊形的對角線，畫出圖形，結合平行四邊形的性質進行求解即可.

(1)過作CD⊥x軸于點D，

∵CB⊥AB，

∴∠ABC=90°，∴∠CBD+∠ABO=90°，

又∵∠BAC=45°，

∴∠ACB=90°-∠BAC=45°=∠BAC，

∴BC=BA，

∵∠AOB=90°，∴∠ABO+∠BAO=90°，

∴∠CBD=∠BAO，

又∵∠BDC=∠AOB=90°，

∴△BDC≌△AOB，

∴BD=OA，CD=OB，

∵直線：，

∴A（0，4），B（-2，0），

∴BD=OA=4，CD=OB=2，

∴OD=4+2=6 ，

∴C(-6，2)；

(2)設的解析式為

∵A（0，4），C(-6，2)，

∴，

∴

∴；

（3）如圖，OA為平行四邊形的邊時，

當四邊形AOM1N1為平行四邊形時，有M1N1=AO=4，

即（）-（）=4，解得：x=，

當x=時，=，

所以N1（）；

當四邊形AOM2N2為平行四邊形時，有M2N2=AO=4，

即（）-（）=4，解得：x=，

當x=時，=，

所以N2（）；

OA為平行四邊形的對角線時，由上可知AM1ON2為平行四邊形，此時N2（）；

綜上可知N點坐標為 或，

故答案為： 或.