Question

【題目】如圖，二次函數(shù)y=﹣x2+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，OB=OC，點(diǎn)D在函數(shù)圖象上，CD∥x軸且CD=2，直線l是拋物線的對(duì)稱軸，E是拋物線的頂點(diǎn)．

（1）求b、c的值；

（2）如圖1，連BE，線段OC上的點(diǎn)F關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)F’恰好在線段BE上，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；

（3）如圖2，動(dòng)點(diǎn)P在線段OB上，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線分別與BC交于點(diǎn)M、與拋物線交于點(diǎn)N．試問(wèn)：拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使得△PQN與△APM的面積相等，且線段NQ的長(zhǎng)度最小？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）3；（2）點(diǎn)F的坐標(biāo)為（0，2）；（3）存在滿足題意的點(diǎn)Q，其坐標(biāo)為（，）或（，）．

【解析】試題分析：（1）由條件可求得拋物線對(duì)稱軸，則可求得b的值；由OB=OC，可用c表示出B點(diǎn)坐標(biāo)，代入拋物線解析式可求得c的值；

（2）可設(shè)F（0，m），則可表示出F′的坐標(biāo)，由B、E的坐標(biāo)可求得直線BE的解析式，把F′坐標(biāo)代入直線BE解析式可得到關(guān)于m的方程，可求得F點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（n，0），可表示出PA、PB、PN的長(zhǎng)，作QR⊥PN，垂足為R，則可求得QR的長(zhǎng)，用n可表示出Q、R、N的坐標(biāo)．在Rt△QRN中，由勾股定理可得到關(guān)于n的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可知其取得最小值時(shí)n的值，則可求得Q點(diǎn)的坐標(biāo)．

試題解析：解：（1）∵CD∥x軸，CD=2，∴拋物線對(duì)稱軸為x=1，∴﹣=1，b=2．

∵OB=OC，C（0，c），∴B點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣c，0），∴0=﹣c2+2c+c，解得：c=3或c=0（舍去），∴c=3；

（2）設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為（0，m）．∵對(duì)稱軸為直線x=1，∴點(diǎn)F關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)F的坐標(biāo)為（2，m）．由（1）可知拋物線解析式為y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴E（1，4）．∵直線BE經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（3，0），E（1，4），∴利用待定系數(shù)法可得直線BE的表達(dá)式為y=﹣2x+6．

∵點(diǎn)F在BE上，∴m=﹣2×2+6=2，即點(diǎn)F的坐標(biāo)為（0，2）；

（3）存在點(diǎn)Q滿足題意．設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（n，0），則PA=n+1，PB=PM=3﹣n，PN=﹣n2+2n+3．

作QR⊥PN，垂足為R．∵S△PQN=S△APM，∴（n+1）（3﹣n）=（﹣n2+2n+3）QR，∴QR=1．

①點(diǎn)Q在直線PN的左側(cè)時(shí)，Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（n﹣1，﹣n2+4n），R點(diǎn)的坐標(biāo)為（n，﹣n2+4n）N點(diǎn)的坐標(biāo)為（n，﹣n2+2n+3），∴在Rt△QRN中，NQ2=1+（2n﹣3）2，∴n=時(shí)，NQ取最小值1．此時(shí)Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ）；

②點(diǎn)Q在直線PN的右側(cè)時(shí)，Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（n+1，n2﹣4）．

同理，NQ2=1+（2n﹣1）2，∴n=時(shí)，NQ取最小值1．此時(shí)Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（）．

綜上可知：存在滿足題意的點(diǎn)Q，其坐標(biāo)為（）或（）．