Question

【題目】（1）如圖1，已知⊙O的半徑是4，△ABC內接于⊙O，AC=．

①求∠ABC的度數；

②已知AP是⊙O的切線，且AP=4，連接PC．判斷直線PC與⊙O的位置關系，并說明理由；

（2）如圖2，已知ABCD的頂點A、B、D在⊙O上，頂點C在⊙O內，延長BC交⊙O于點E，連接DE．求證：DE=DC．

Answer 1

【答案】（1）45°；②直線PC與⊙O相切．理由見解析；（2）證明見解析．

【解析】試題分析：（1）①連結OA、OC，如圖1，利用勾股定理的逆定理證明△OCA為等腰直角三角形，∠AOC=90°，然后根據圓周角定理易得∠ABC=45°；

②先根據切線的性質得∠OAP=90°，再證四邊形APCO為平行四邊形，加上∠AOC=90°，則可判斷四邊形AOCP為矩形，所以∠PCO=90°，然后根據切線得判斷定理得到PC為⊙O的切線；

（2）根據平行四邊形的性質得AB∥CD，AD∥BC，再由平行線的性質得∠B+∠A=180°，∠DCE=∠B，由圓內接四邊形的性質得∠E+∠A=180°，易得∠DCE=∠E，則根據等腰三角形的判定定理即可得到DC=DE．

試題解析：（1）解：①連結OA、OC，如圖1，

∵OA=OC=4，AC=4，

∴OA2+OC2=AC2，

∴△OCA為等腰直角三角形，∠AOC=90°，

∴∠ABC=∠AOC=45°；

②直線PC與⊙O相切．理由如下：

∵AP是⊙O的切線，

∴∠OAP=90°，

而∠AOC=90°，

∴AP∥OC，

而AP=OC=4，

∴四邊形APCO為平行四邊形，

∵∠AOC=90°，

∴四邊形AOCP為矩形，

∴∠PCO=90°，

∴PC⊥OC，

∴PC為⊙O的切線；

（2）證明：∵四邊形ABCD為平行四邊形，

∴AB∥CD，AD∥BC，

∴∠B+∠A=180°，∠DCE=∠B，

∵∠E+∠A=180°，

∴∠E=∠B，

∴∠DCE=∠E，

∴DC=DE．