Question

【題目】已知拋物線

（1）若求該拋物線與x軸的交點坐標；

（2）若，是否存在實數,使得相應的y=1，若有，請指明有幾個并證明你的結論，若沒有，闡述理由。

（3）若且拋物線在區間上的最小值是-3，求b的值。

Answer 1

【答案】（1），和；（2）即存在兩個不同實數，使得相應；（3）或.

【解析】

（1）先將a=b=1，c=-1代入y=3ax2+2bx+c，得到拋物線為y=3x2+2x-1，再用因式分解法求出方程3x2+2x-1=0的兩個根，即可得到該拋物線與x軸的交點坐標；

（2）將y=1代入y=3ax2+2bx+c，得到3ax2+2bx+c=1，則△=4b2-12a（c-1），再將c-1=-a-b代入△，整理得到△=，由a≠0，得出△＞0，根據一元二次方程根與系數的關系可知方程3ax2+2bx+c=1有兩個不相等實數根，即存在兩個不同實數x0，使得相應的y=1；

（3）先將代入y=3ax2+2bx+c，得到拋物線為y=x2+2bx+b+2，根據二次函數的性質求出其對稱軸為x=-b，再分三種情況進行討論：①x=-b＜-2；②x=-b＞2；③-2≤-b≤2．

解（1）當，時，拋物線為，

∵方程的兩個根為，．

∴該拋物線與軸公共點的坐標是和；

（2）存在兩個不同實數x0，使得相應的y=1．理由如下：

由得， 即，

，

，

∴，

所以方程有兩個不相等實數根，

即存在兩個不同實數，使得相應；

（3），則拋物線可化為，其對稱軸為，分三種情況：

①當時，即，則有拋物線在時取最小值為-3，此時，解得，合題意；

②當時，即，則有拋物線在時取最小值為-3，此時，解得，不合題意，舍去；

③當時，即，則有拋物線在時取最小值為-3，此時，化簡得：，解得：（不合題意，舍去），；

綜上：或.