Question

【題目】如圖，AB是⊙O的弦，半徑OE⊥AB，P為AB的延長線上一點，PC與⊙O相切于點C，CE與AB交于點F．

(1)求證：PC＝PF；

(2)連接OB，BC，若OB∥PC，BC＝3，tanP＝，求FB的長．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)FB＝2．

【解析】

（1）連接OC，根據切線的性質以及OE⊥AB，可知∠E+∠EFA＝∠OCE+∠FCP＝90°，從而可得∠EFA＝∠FCP，繼而可推得∠CFP＝∠FCP，再根據等角對等邊即可證得；

（2）過點B作BG⊥PC于點G，由OB∥PC，OB＝OC，BC＝3，從而求得OB＝3，繼而證得四邊形OBGC是正方形，從而有OB＝CG＝BG＝3，從而有，求得PG＝4，再利用勾股定理可求得PB長，繼而可求出FB長.

(1)連接OC，

∵PC是⊙O的切線，

∴∠OCP＝90°，

∵OE＝OC，

∴∠E＝∠OCE，

∵OE⊥AB，

∴∠E+∠EFA＝∠OCE+∠FCP＝90°，

∴∠EFA＝∠FCP，

∵∠EFA＝∠CFP，

∴∠CFP＝∠FCP，

∴PC＝PF；

(2)過點B作BG⊥PC于點G，

∵OB∥PC，

∴∠COB＝90°，

∵OB＝OC，BC＝3，

∴OB＝3，

∵BG⊥PC，

∴四邊形OBGC是正方形，

∴OB＝CG＝BG＝3，

∵tanP＝，

∴，

∴PG＝4，

∴由勾股定理可知：PB＝5，

∵PF＝PC＝7，

∴FB＝PF﹣PB＝7﹣5＝2．