Question

【題目】如圖，拋物線與x軸交于A、B兩點（A在B的左側），與y軸交于點N，過A點的直線l：與y軸交于點C，與拋物線的另一個交點為D，已知，P點為拋物線上一動點（不與A、D重合）．

（1）求拋物線和直線l的解析式；

（2）當點P在直線l上方的拋物線上時，過P點作PE∥x軸交直線l于點E，作軸交直線l于點F，求的最大值；

（3）設M為直線l上的點，探究是否存在點M，使得以點N、C，M、P為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1），直線l的表達式為：；（2）最大值：18；（3）存在，P的坐標為：或或或.

【解析】

（1）將點A、D的坐標分別代入直線表達式、拋物線的表達式，即可求解；

（2），即可求解；

（3）分NC是平行四邊形的一條邊、NC是平行四邊形的對角線，兩種情況分別求解即可．

解：（1）將點A、D的坐標代入直線表達式得：，解得：，

故直線l的表達式為：，

將點A、D的坐標代入拋物線表達式，

同理可得拋物線的表達式為：；

（2）直線l的表達式為：，則直線l與x軸的夾角為，

即：則，

設點P坐標為、則點，

，故有最大值，

當時，其最大值為18；

（3），

①當NC是平行四邊形的一條邊時，

設點P坐標為、則點，

由題意得：，即：，

解得或0或4（舍去0），

則點P坐標為或或；

②當NC是平行四邊形的對角線時，

則NC的中點坐標為，

設點P坐標為、則點，

N、C，M、P為頂點的四邊形為平行四邊形，則NC的中點即為PM中點，

即：，

解得：或（舍去0），

故點；

故點P的坐標為：或或或．